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1.5 符号矩阵与运算
符号运算也应用于矩阵中。下例先用MATLAB的hilb() 函数返回Hilbert矩阵A，产生数值矩阵。接着通过sym()函数，把A变成符号数值矩阵。第二个例子先用magic（4）生成4 × 4方阵，然后用sym() 将其转化为符号数值矩阵。
format long A = hilb(3) % A = % % 1.000000000000000 0.500000000000000 0.333333333333333 % 0.500000000000000 0.333333333333333 0.250000000000000 % 0.333333333333333 0.250000000000000 0.200000000000000 A_sym = sym(A) % A_sym = % % [ 1, 1/2, 1/3] % [ 1/2, 1/3, 1/4] % [ 1/3, 1/4, 1/5] A_magic = magic(4)/10 % A_magic = % % 1.600000000000000 0.200000000000000 0.300000000000000 1.300000000000000 % 0.500000000000000 1.100000000000000 1.000000000000000 0.800000000000000 % 0.900000000000000 0.700000000000000 0.600000000000000 1.200000000000000 % 0.400000000000000 1.400000000000000 1.500000000000000 0.100000000000000 A_magic_sym = sym(A_magic) % A_magic_sym = % % [ 8/5, 1/5, 3/10, 13/10] % [ 1/2, 11/10, 1, 4/5] % [ 9/10, 7/10, 3/5, 6/5] % [ 2/5, 7/5, 3/2, 1/10]
使用sym() 也可以定义向量和矩阵。下例用sym() 的符号变量构造向量：
array_an = sym('a',[1 4])
% 1 row, 4 columns
% array_an =
% [ a1, a2, a3, a4]
array_x_n = sym('x_%d',[1 4])
% 1 row, 4 columns
% array_x_n =
% [ x_1, x_2, x_3, x_4]
如下代码用sym() 函数定义一定形状的矩阵：
matrix_A34 = sym('A',[3 4])
% 3 rows, 4 columns
% matrix_A34 =
% [ A1_1, A1_2, A1_3, A1_4]
% [ A2_1, A2_2, A2_3, A2_4]
% [ A3_1, A3_2, A3_3, A3_4]
matrix_x44 = sym('x_%d_%d',4)
% 4 rows, 4 columns
% matrix_x44 =
% [ x_1_1, x_1_2, x_1_3, x_1_4]
% [ x_2_1, x_2_2, x_2_3, x_2_4]
% [ x_3_1, x_3_2, x_3_3, x_3_4]
% [ x_4_1, x_4_2, x_4_3, x_4_4]
sym() 函数也能构造三维符号矩阵，比如下例：
matrix_B222 = sym('B',[2 2 2])
% matrix_B222(:,:,1) =
% [ B1_1_1, B1_2_1]
% [ B2_1_1, B2_2_1]
%
% matrix_B222(:,:,2) =
% [ B1_1_2, B1_2_2]
% [ B2_1_2, B2_2_2]
sym() 还可以通过匿名函数产生符号矩阵，比如下例：
h_matrix = @(x)(x*hilb(3)); sym_matrix = sym(h_matrix) % sym_matrix = % % [ x, x/2, x/3] % [ x/2, x/3, x/4] % [ x/3, x/4, x/5]
此外，sym() 也可以给符号矩阵设定前提条件，比如下例：
matrix_A = sym('A%d%d',[2 2],'positive')
% matrix_A =
% [ A11, A12]
% [ A21, A22]
assumptions(matrix_A)
% ans =
% [ 0 < A11, 0 < A12, 0 < A21, 0 < A22]
请读者注意，新版本MATLAB中的sym() 不再支持如下操作：
A = sym('[a, b; c, d]')
符号矩阵有助于公式推导。符号矩阵的运算规则与数值矩阵相同，比如以下运算：
syms a b c d A = [a, b; c, d] % A = % [ a, b] % [ c, d] B = [d, c; b, a] % B = % [ d, c] % [ b, a] A + B % ans = % [ a + d, b + c] % [ b + c, a + d] A - B % ans = % [ a - d, b - c] % [ c - b, d - a] transpose(A) % ans = % [ a, c] % [ b, d] inv(A) % ans = % [ d/(a*d - b*c), -b/(a*d - b*c)] % [ -c/(a*d - b*c), a/(a*d - b*c)] A^2 %A*A % ans = % [ a^2 + b*c, a*b + b*d] % [ a*c + c*d, d^2 + b*c] A*B % ans = % [ b^2 + a*d, a*b + a*c] % [ b*d + c*d, c^2 + a*d] A/B % ans = % [ (a^2 - b^2)/(a*d - b*c), -(a*c - b*d)/(a*d - b*c)] % [ (a*c - b*d)/(a*d - b*c), -(c^2 - d^2)/(a*d - b*c)] A\B % ans = % [ -(b^2 - d^2)/(a*d - b*c), -(a*b - c*d)/(a*d - b*c)] % [ (a*b - c*d)/(a*d - b*c), (a^2 - c^2)/(a*d - b*c)] A.*B % ans = % [ a*d, b*c] % [ b*c, a*d] A./B % ans = % [ a/d, b/c] % [ c/b, d/a] A.\B % ans = % [ d/a, c/b] % [ b/c, a/d] A.^2 % ans = % [ a^2, b^2] % [ c^2, d^2] det(A) % ans = % a*d - b*c diag(A) % ans = % a % d eig(A) % ans = % a/2 + d/2 - (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2 % a/2 + d/2 + (a^2 - 2*a*d + d^2 + 4*b*c)^(1/2)/2
可以把具体数值代入由符号定义的矩阵，比如下例：
syms x M_x = [x x^2; 1/x cos(x)]; f(x) = M_x; f(2) % ans = % [ 2, 4] % [ 1/2, cos(2)]
另外，MATLAB有专门整理和求解线性方程组的函数equationsToMatrix() 和linsolve()。
syms x y z
eqns = [x+y-2*z == 0,
x+y+z == 1,
2*y-z == -5];
[A,b] = e quationsToMatrix(eqns)
% A =
% [ 1, 1, -2]
% [ 1, 1, 1]
% [ 0, 2, -1]
%
% b =
% 0
% 1
% -5
X = linsolve(A,b)
% X =
% 3
% -7/3
% 1/3
diff() 也可以用在矩阵函数上。比如要求解如下的f偏导数：
具体代码如下：
syms a x n t f = [a*x^2 t^3*x^3; t*sin(x) log(x)*t]; dfdx = diff(f,x) % diff(f) % dfdx = % [ 2*a*x, 3*t^3*x^2] % [ t*cos(x), t/x] dfdt2 = diff(f,t,2) % dfdt2 = % [ 0, 6*t*x^3] % [ 0, 0] dfdxdt = diff(diff(f,x),t) % dfdxdt = % [ 0, 9*t^2*x^2] % [ cos(x), 1/x]
gradient() 函数可用于求取函数梯度。多元函数f（x）对于向量x的梯度定义如下：
如下代码用gradient() 函数计算f梯度向量。
syms x y z f = 2*y*z*sin(x) + 3*x*sin(z)*cos(y); gradient(f, [x, y, z]) % ans = % 3*cos(y)*sin(z) + 2*y*z*cos(x) % 2*z*sin(x) - 3*x*sin(y)*sin(z) % 2*y*sin(x) + 3*x*cos(y)*cos(z)
jacobian() 函数可计算多元函数向量的Jacobian矩阵。若f定义如下：
则其Jacobian矩阵为：
如何使用jacobian() 函数请参考下例。
syms x y jacobian([x^2*y, x*sin(y)]) % ans = % [ 2*x*y, x^2] % [ sin(y), x*cos(y)]
此外，hessian()函数用于获得Hessian矩阵，例如：
syms x1 x2 x3 f = x1*x2 + 2*x3*x1; hessian(f,[x1,x2,x3]) % ans = % % [ 0, 1, 2] % [ 1, 0, 0] % [ 2, 0, 0]