2.无须测量的几何学
你对几何学的记忆应该来自你的学生时代，这是一门关于空间度量的科学[1]，它主要包含了大量有关距离和角度之间的数值关系的定理（比如毕达哥拉斯定理就是关于直角三角形三条边之间的关系的），然而事实上，与空间有关的大部分基本性质并不需要借助长度或角度的测量来规范。几何学里有关这些内容的分支叫作拓扑学[2]（analysis situs/topology）[3]，它是数学领域中最具刺激性的，也是最难的分支之一。
下面来举一个典型的关于拓扑学问题的简单例子。假设有一个完全闭合的几何面，例如一个球面，用一组线将其划分成一些单独的区域。你可以准备一张图，上面画着一个球，在球上随意取一些点，用不交叉的线连接这些点。那么，这些点的数目、连线的数目和区域的数目之间有什么联系呢？
首先，如果我们将这个球体压成一个南瓜状的扁球体，或者拉长成黄瓜那样的长条，显然点、线、面的数量是不会改变的（图13）。
一个被划分成几块的球体变换成一个多面体。
事实上，我们可以取任何形状的闭合曲面，像随意挤压一个橡皮气球一样，只要不割破或撕裂它，上述问题的形式和解法都不会有丝毫的改变。这个事实表明，拓扑学中存在的数值关系与常规的几何学（例如线性维度的尺度、平面区域的表面积和几何体的体积之间的关系）有所不同，两者之间形成了鲜明的对比。当然，如果我们把一个立方体拉成了平行六边形，或者把球体压成了一个薄饼的话，这种关系也会出现严重的扭曲。
现在，让我们把这个被划分成了数个区域的球面按区域展平，使得这个球体变成一个多面体，这样一来划分边界的线就变成了多面体的棱，而原来的那些点变成了多面体的顶点。
这样我们之前的问题就能转化为（本质上却没有改变）“一个任意形状的多面体中，顶点、边和面之间的关系”的问题。
图14给出了五个正多面体，它们的每一面都有相同数量的边和顶点，还有一个仅仅依据想象画出来的不规则多面体。
我们可以数一下每个几何体的顶点、边和面的数量，这些数量之间有何关系呢？
直接数下来，我们可以得到下面的表格。
起初，表格中的三列（V、E和F）数字似乎没有确切的联系，但在稍做研究之后你会发现，V列加上F列总比E列多2。因此可以写下这样的数学关系式：
V+F=E+2
那么，这个关系是只存在于图14给出的五个特定的正多面体中，还是对任何多面体都适用呢？如果你尝试画一下其他不同于图14的多面体，数它们的顶点、边和面，你会发现这个关系是普遍适用的。显而易见，V+F=E+2是拓扑学中一条普适的数学定理，这个关系表达式与边长、面积的测量没有关系，只与涉及的不同几何单元（就是顶点、边和面）的数目有关。
五个正多面体（它们只能是这样的形状）和一个“畸形体”。
我们刚刚发现的关于多面体顶点、边和面的数目的关系最早被17世纪法国著名数学家内奈·笛卡尔（René Descartes）注意到，而针对它的严谨证明则是后来由另一位数学巨擘欧拉完成的，这个定理被命名为欧拉定理。
以下是欧拉定理的完全证明，引自古朗特（R . Courant）和罗宾斯（H . Robbins）的著作《什么是数学？》（What Is Mathematics?）[4]，大家可以看看这项定理是怎么被证明的：
“为证明欧拉的公式，我们可以把给定的一个简单多面体想象成一个橡皮薄膜制成的中空体（图15a），如果把这个中空多面体的一面切掉，我们就可以扭曲剩下的几个面的形状，直至其展开成一个平面（图15b）。当然，这样一来每一面的面积和棱与棱之间的角度都会发生改变，但这个平面上的顶点和网状的边的数量仍然与原来多面体的顶点和边的数量相同，而多边形的数目则要比原来多面体的面的数目少1，因为我们切掉了一个面。
欧拉定理的证明。这里的图是特别对一个正方体而言的，但它适用于其他任何多面体。
现在我们可以用V−E+F=1来表示这个平面网络内的关系，因而，如果算上被切掉的面，对于多面体而言，其结果就是V−E+F=2。
“首先，我们将这个平面网络以如下形式‘三角形化’：给不是三角形的多边形加一条对角线。这样的作用是将E和F各增加1，V−E+F的值不变。我们继续画对角线，直到整个图形包含的全部是三角形（图15c）。这个三角形网络中V−E+F的值，与将其划分为三角形之前是相等的，因为增添对角线并没有改变这一数值。
“有些三角形的边在这个平面网络的边界上，它们中有的只有一条边在边界上，例如△ABC，而另一些则有两条边在边界上。我们将这些‘边界三角形’中不同时属于其他三角形的边去除（图15d）——即在△ABC中，我们移除边AC和整个面，只留下顶点A、B、C和边AB、BC；在△DEF中，我们移除整个面，以及两条边DF、FE和顶点F。
“对△ABC式的三角形的移除，使得E和F各减去1，而V不受影响，因而V−E+F的值不变；对△DEF式的三角形的移除，使得V减1，E减2，F减1，最后V−E+F的值依旧保持不变（图15e）。
“在进行了一系列这样的操作之后，我们一步步地去除了在边界上有边的三角形（每次移除都会改变下一次的可选项），直到最后只剩下一个三角形——三条边、三个顶点和一个面（图15f）。在这个最简单的平面网络中，V−E+F=3−3+1=1。
“我们可以发现，随着三角形的去除，V−E+F的值从未改变。因此在最初的平面网络——那个缺少了一个面的多面体中，V−E+F的值也必然等于1。所以我们可以总结，在一个多面体中，V−E+F=2。这就是欧拉的公式的完整证明。”
从欧拉的公式得到的一个有趣的推论是，只可能存在五种正多面体，也就是图14中给出的那五种。
仔细钻研一下前几页的讨论，你可能会注意到，在画出图14里的“各种各样的”多面体，和用数学方法证明欧拉定理时，我们做了一个隐藏假设，导致我们对多面体的选择受到了限制——我们受限于只能选择没有任何洞眼的多面体。这个洞眼指的不是类似撕开橡皮气球得到的洞，而是像甜甜圈或者橡胶轮胎中间的那种闭合的、连通两个相对面的洞。
粗看一眼图16你就会清楚了。这里有两个几何体，和图14里给出的一样，也是多面体。
两个有洞眼的立方体，第一个有一个洞眼，第二个有两个。它们的面不都是矩形，但对于拓扑学而言，这一点是无所谓的。
我们来看看欧拉定理对这两个新的多面体是否适用。
于第一个而言，我们数出来总共有16个顶点、32条边、16个面，因此V+F=32，而E+2=34。于第二个而言，有28个顶点、46条边、30个面，因此V+F=58，而E+2=48。这又错了！
为什么会这样呢？我们得到的欧拉定理的普遍证明，为什么在这两个例子里就不适用了呢？
问题在于，我们可以把之前考虑的多面体看作足球球胆或气球，而新给出的中空多面体却更像是橡胶轮胎或者更复杂的橡胶制品。
数学证明无法应用于这种新型的多面体，因为我们无法对其进行证明过程中的几项必要的操作，即“将中空多面体的一个面切去，变形剩下的面直至其展开在一个平面上。”
如果你拿来一个足球球胆，用剪刀剪去其表面的一块，再完成上述的要求，这是没有困难的。但你不能用一个橡胶轮胎实现这一点，无论你怎么做。如果图16还不足以让你信服的话，就拿一个轮胎自己试试吧！
但你不要认为这种更复杂的多面体的V、E和F之间就不存在关系，关系是有的，只是不一样罢了。对于甜甜圈类型的，或说得更科学点，对环面类型的多面体而言，这三者之间的关系满足V+F=E；而对于“椒盐脆饼”形[5]的多面体而言，这三者则满足V+F=E−2。总而言之可以概括为：V+F=E+2−2N，其中N是洞眼的个数。
另一个与欧拉定理密切相关的典型拓扑学问题就是“四色问题”。
假设有一个球面，上面被划分出一些独立区域，需要我们给这些区域上色，要求是要满足任何两块相邻的区域（就是有公共边界的那些）的颜色都不相同。那么，想要完成这项任务所需的颜色种类最少是多少？
很明显，只有两种颜色是不够的，因为当有三条边界相交在一点时（例如图17中美国的弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州的地图），我们需要给这三个州填充不同的颜色。
需要四种颜色的例子（德国占领奥地利时的瑞士地图）也不难找到（图17）。[6]
左：马里兰州、弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州的地图。
右：瑞士、法国、德国和意大利的地图。
但无论你如何尝试，你永远都无法想象出一个需要超过四种颜色才能满足上述要求的地图，无论是在球面还是在平面[7]上。似乎无论我们将地图设计成多复杂的样式，四种颜色都足以帮我们区分出一条边界两边的国家。
好吧，如果上面的结论是对的，那我们理应可以通过数学方法来证明它，可惜历经几代数学家的努力都没能得出证明结果。这是一个无人存疑，但又无人能够证明的数学问题的典例。已经有人用数学方法证明了五种颜色是足够的，这是目前为止最接近的成果。这个证明是基于欧拉关系得出的，已经应用于国家数、边界数，以及三个、四个等多个国家彼此相邻的点的个数的计算。
在此我们不再对五色理论给出证明，因为它过于复杂，加之对其进行讨论证明已经远远偏离了主要的话题，不过有兴趣的读者可以在很多拓扑学的书籍中找到关于它的证法，然后花一个愉快的夜晚（可能会是个不眠之夜）去研究它。
如果有哪位能够证明不需要五种颜色，只要四种颜色就足够了，或者对这一结论的真实性存疑，并成功画出一幅四种颜色还不够用的地图，只要能达成这两者之一的成就，那么他的名字就将被铭记于接下来数个世纪的纯粹数学史册上。
无比讽刺的是，在球面或平面上至今仍没能得出解法的填色问题，在例如甜甜圈形或者椒盐脆饼形这种更复杂的几何面上却被轻易解开了。
例如，已经有确凿的证明表明，在甜甜圈形状的表面上任意划分区域，仅需要七种颜色即可满足任意两个相邻区域不重色这一要求，而事实上也确实如此。
如果想再费点脑筋的话，大家可以拿一个充气的轮胎和七种不同色的颜料，然后尝试给轮胎表面的区域上色，使得每个区域周围的颜色都不同。在完成这些操作以后，他就可以说“我对甜甜圈形状心里有数了”。[8]