第二章　
弦的理论，公元前500年

有一种颇为奇怪的老生常谈，即最早在可观察的实体间建立起定量关系的实验科学是声学。萨摩斯的毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前585—公元前500）是一位充满传奇色彩的哲学家，直角三角形定理（the right-triangle theorem）①就是以他的名字命名的，而他正是通过研究发声物体的振动开始了自己的科学生涯。据传，有一天他走在街上，忽然听见铁匠铺里传来一阵铿锵有力的声音。他停下来前去一探究竟，发现声音来自铁匠敲击的金属片；金属片越重，声音的音高越低。

毕达哥拉斯并不满足于仅仅进行定性的观察，他继续用一切可以振动的物体做实验，诸如绷紧的弦、盛水的杯子、铃铛、吹管（图2.1）等。据说他曾经制作了一件原始的乐器——单弦琴（monochord），即一根固定在声板上的单弦，声板上沿琴弦有数字刻度（图2.2）。如果在琴弦和声板中间插入一个小小的琴桥，那么只需移动琴桥，就能改变琴弦的有效发声长度。毕达哥拉斯发现，首先让整根琴弦振动起来，然后将琴桥停在其中间位置，这时发出的两个声音就能形成一种令人愉悦、彼此和谐的效果：它们之间差着一个“八度”（octave）。在不同的八度中演奏同一段旋律，听起来基本相同，就像在酒店不同楼层的走廊上行走一样。毕达哥拉斯发现，八度音程对应于1:2的比例。

毕达哥拉斯将八度定为一个基本的音程，但接下来，他并未选择一个更广的音程，而是试着对该音程进一步细化。他尝试了其他琴弦长度的比例，发现了一个让他印象深刻的现象：小比例的琴弦长度能够产生和谐、愉悦的声音，即“协和音”（consonances）；而大比例的琴弦长度则产生“不协和音”（dissonances）。前者中首先有八度（1:2）、五度（2:3）和四度（3:4）（这些名词来自音阶中这些音程的位置，参见图2.3）。通过这一现象，毕达哥拉斯意识到自然本身——实际上是整个宇宙 ——是由简单的数值比例控制的。“数字统治宇宙”（number rules the universe）成为毕达哥拉斯的座右铭，并且这一观点在此后的2,000年内都主导着科学思想。

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此处，我们必须稍微跑一下题。话说从1600年左右开始，人们在实践中都根据频率比（frequency ratios），而非弦长的比例，来描述音程。对任何琴弦而言，频率都与弦长成反比，因此八度、五度和四度对应的频率比例分别为2:1、3:2和4:3。我们在下文中将按照这一方法进行描述。

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上文提及的三种音程在音乐中发挥着非常基础的作用。毕达哥拉斯将它们称为“完全协和”，并用其组成音阶——这种将乐声进行有序数值排列的方法可谓前无古人。他发现，从任何一个音符开始，先升高五度，接着再升高四度，就能得到一个比初始音符恰好高八度的音符。如果用比例表示，这个转换关系可以表示为。通常而言，这种方法是正确的，“若要增加两个音程，只需将其频率比例相乘”。毕达哥拉斯并不知道自己发现了历史上第一个对数关系。

接下来，他拿出每个完全协和音程，并利用幂函数升高其频率比例。2:1的幂就可以得到更高的八度，而4:3的幂即为3:2的转位（将某个音程的低音符升高八度，或者将其高音符降低八度，即为将该音程转位）。毕达哥拉斯在求取3:2的幂时，先从开始，并得到以下数列：

该数列中的七个比例，只有第二个和第三个存在于八度之中。若想将其余几个比例纳入八度的范围内，则需要将它们乘以或除以2的幂：

如果将这个新的序列以升序排列，并一直增至2:1的比例，得到一个完整的八度，那么会得到以下数列：

这个序列被称为“自然音阶”（diatonic scale）。它给出了每一个音符相对于基本（最低的）音符的比例。但在音乐领域，人们最关注的是两个音符“之间”的比例，即两个音符之间的间距。如果计算每个音符相对于自己前面那个音符的比例，可以得到以下序列：

该序列即为“毕达哥拉斯全音阶”（Pythagorean diatonic scale）的音程。它实际仅仅由两个不同的音程组成，较大的那个是9:8（=1.125），被称为“全音”（whole tone），较小的则为256:243（≈1.053），被称为“半音”（semitone或者half tone）。

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乍看之下，毕达哥拉斯音阶似乎是一项伟大的发明；它以简单明了著称，仅使用3:2这一种比例。但这种简洁具有欺骗性，个中原因众多。首先，正如每个学音乐的学生早就知道的，有一个“五度圈”（circle of fifths）的方案：从任意音符开始，每次以1/5的比例连续上升。经过12次之后［并且在此过程中经过一系列比自然音阶高半音的升调（sharp）或者低半音的降调（flat）］，就会回到起始的音符，但会高出7个八度（参见图2.4）。可是，毕达哥拉斯音阶无法做到这一点：没有任何正整数m和n能够满足公式 ［1］。

但是，更令人困扰的是，毕达哥拉斯音阶与几乎所有乐器产生的自然“泛音”（harmonics或overtone）序列格格不入。琴弦振动时，它会发出一个有特定音高的音符，可以用于标定音乐，但同时，相伴出现的还有其他更高的音符。这种泛音的混合会赋予声音特定的色彩或“音色”（timbre），即使小提琴和单簧管演奏相同的音符，我们也能根据这一特性将它们区分开来。

在下一章中，我们将看到，这些泛音的频率总是琴弦所发出的最低的、基本的频率的整数倍，因此它们（相对于基本频率的倍数）呈现为序列1，2，3，…。从理论上讲，该序列可以永远持续下去，从而产生由更高的音符组成的无限混合。然而，通常情况下，泛音的幅度及其强度会随着序列的上升而迅速减弱，从而使其变得越来越弱，越发难以分辨。毕达哥拉斯音阶仅基于3:2的比例，而忽略了其余泛音，包括非常重要的5:4和6:5（分别为大三度和小三度），因此该音阶与声学定律并不同步；它只是一个数学上的创新，与物理现实关系不大。这是已知的人们将数学定律应用于音乐领域的首次尝试，但不会是最后一次。

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一般而言，毕达哥拉斯音阶是毕达哥拉斯哲学的典型代表。出于对音乐命理学（musical numerology）的痴迷，毕达哥拉斯的信徒坚信世间万物，从音乐和声的定律到天体的运动，都受到整数的简单比例的支配。为便于理解这种信仰上的巨大跳跃，我们必须记住，在古希腊传统中，音乐与算术、几何以及球面几何学（天文学）处于相同的地位——“四术”（quadrivium）所囊括的四门学科，是每个学生都必须精通的，相当于今天大学里的核心课程。［2］

值得注意的是，在毕达哥拉斯主义者眼中，“arithmetic”这个词的含义与如今的意思“算术”迥然不同，它那时的意思是“数论”（number theory）。这是一门研究整数特性的学问，而非那种进行整数运算的实用技能。与此类似，他们将四术中的音乐称为“乐理”（music theory），即研究音阶与和声的学问，而非演奏音乐的实用技艺。这一典例反映出毕达哥拉斯主义者对所有实用技能秉持的一种超然物外的态度。他们的思想中存在着一个完美的宇宙，由美、对称及和谐的规律支配，而与日常的、世俗的思虑无关。这或许能解释他们为什么总是开展秘密讨论：担心自己会被同胞嘲笑，因为毕竟大多数人每天都要辛勤劳作以维持生计。没有任何毕达哥拉斯的著作——倘若真的存在过——幸存下来。我们现在所了解的关于毕达哥拉斯主义的一切思想，都来自后人的记录，这些书写者生活在毕达哥拉斯身后数百年的不同时代，但在颂扬他们所尊奉的这位导师的光辉思想时，均极尽褒扬之能事。

但是，尽管相关著作未能留存下来，毕达哥拉斯的这份“遗产”还是流传了2,000余年依旧光芒闪烁。“数字统治宇宙”成为数代科学家和哲学家奉行的圭臬，他们试图基于音乐的比例或者简单而典雅的几何形态来解释整个宇宙。例如，行星应该在完美的圆形轨道上绕地球运动；认为除了完美对称的圆形之外，还存在其他几何形状可以在宇宙中占据统治地位的想法简直匪夷所思。就这样，在接下来的2,000年中，自然法则屈从于理想化的美、和谐与对称，毕达哥拉斯主义者实质上阻碍了科学的进步。

著名的德国天文学家约翰内斯·开普勒被视为现代天文学之父，同时，他也是最后的毕达哥拉斯主义者之一。开普勒一度是一位虔诚的神秘主义者，也是哥白尼日心说的狂热信徒。在大半生的时光中，开普勒都致力于通过音乐和声的理论推导出行星的轨道。

他相信，每一颗行星在环绕太阳运行时，都奏响了一首曲子，只不过因其频率低于我们的听力辨识范围而无法被听到（也就是说，在真空状态的外太空中生成了音乐，但此处我们就不提声音在真空中不能传播的事实了）。实际上，开普勒为当时已知的五颗行星（图2.5）中的每一颗，都谱写了一首用音乐符号记录下来的天体旋律，即著名的《宇宙音乐》。开普勒在这条道路上迷失了方向，直到数十年之后，他才最终抛弃了古希腊推崇的圆形轨道，转而采用椭圆形轨道；一代人之后，牛顿又在此基础上添加了抛物线和双曲线。

注释

［1］这个公式可以改写成方程式3^m=2^k，其中k=m+n。公式的左边是3的幂，因此是一个奇数；而公式的右边是2的幂，所以是一个偶数。

［2］“四术”的概念由波伊提乌（Boethius，6世纪）提出，但其中所列举的功课在柏拉图的《理想国》(Republic)中就已经出现。再加上“三艺”（trivium，包括语法、逻辑和修辞），就组成了中世纪大学人文教育的七门功课。

①即“毕达哥拉斯定理”或“勾股定理”。——译者注