3.4 模拟实验
为了验证MECDPSI算法的正确性及鲁棒性，本节对MECDPSI算法给出了模拟实验过程及结果。本节对MECDPSI算法进行了单次模拟及多次模拟。模拟实验主要设计了3组情况：第一组为图像无噪声时的实验；第二组、第三组分别为不同噪声水平下的实验。模拟实验分为3个步骤：①模拟数据生成；②估计单应矩阵和畸变参数；③单应矩阵和畸变参数整体优化。
3.4.1 单次实验模拟步骤及结果
1. 单次模拟实验
本节主要对MECDPSI算法进行单次模拟实验，模拟实验采用的数据如下。
（1）随机生成1000个空间平面点
，i=1,2,3…,1000。其中，xi∈[−200,200]，yi∈[−200,200]。
（2）摄像机内参数矩阵为
（3）摄像机二阶径向畸变参数为
[k1 k2]=[1.6×10−8 2.56×10−13]
（4）生成的模拟图像大小为800像素×600像素。
（5）主点为图像中心点：(400,300)。
（6）随机生成世界坐标系与摄像机坐标系之间的旋转矩阵R和平移向量T，并生成单应矩阵HM=K[r1 r2 T]。
（7）根据下列公式生成1000个图像平面点
，i=1,2,3,…,1000。
（8）已知畸变参数[k1 k2]=[1.6×10−8 2.56×10−13]，由以下畸变公式生成含二阶径向畸变的1000个畸变图像点
，i=1,2,3,…,1000。
单次模拟实验的模拟数据分别在无噪声、加入噪声水平为[-1,1]和[-2,2]的均匀随机噪声下生成。为了直观地表示，图中均随机选择模拟生成的100个空间平面点。图3.1所示为无噪声条件下模拟生成的100个随机空间平面点与摄像机的位置。
图3.1 仿真空间点与摄像机的位置
由随机生成的HM和模拟生成的1000个空间点数据可以得到模拟图像点数据Up，表3.1所示为无噪声与加入不同的噪声值的情况下获得的单应矩阵HM。
表3.1 模拟实验的单应矩阵HM
2. 生成畸变数据
输入模拟图像点Up，依据3.2.2节中的摄像机畸变模型可以计算无噪声、加入噪声水平为[-1,1]、[-2,2]的随机噪声后的图像畸变点Ud，如图3.2所示。
图3.2 畸变图像
3. 计算初始单应矩阵H0
计算畸变图像点Ud与主点（400，300）之间的距离，依据主点附近10个点估计初始单应矩阵H0，采样图如图3.3所示。
图3.3 主点附近样点采集图
依据主点附近的10个点，估计出的单应矩阵与初始摄像机畸变参数如表3.2所示。
表3.2 单应矩阵与初始摄像机畸变参数
图3.4所示为利用在无噪声水平下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影。
图3.4 利用在无噪声水平下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影
图3.5所示为利用在噪声水平为[-1,1]下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影。
图3.5 利用在噪声水平为[-1,1]下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影
图3.6所示为利用在噪声水平为[-2,2]下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影。
图3.6 利用在噪声水平为[-2,2]下估计的单应矩阵及畸变参数计算空间点的投影
图3.4 ～ 图3.6中的“*”号标记的点表示原始无畸变图像点，“°”号标记的点表示利用估计的单应矩阵H0计算的虚拟图像点，“+”号标记的点表示采用初始摄像机畸变参数P校正的图像点。从图3.4 ～ 图3.6中可以看出，通过估计的单应矩阵H0计算的虚拟图像点与原始无畸变图像点之间存在图像偏移，采用初始摄像机畸变参数校正后的图像点与原始无畸变图像点之间也存在图像偏移。因此，可以利用上述虚拟图像点与实际点之间的偏移量，采用非线性迭代优化算法进一步优化摄像机畸变参数。
4. 优化结果
通过LM优化算法优化初始单应矩阵与畸变参数，迭代终止条件为：在迭代优化过程中，若迭代次数大于5000次或误差和小于10-30，则终止迭代。迭代的目标函数为
对初始计算出的单应矩阵和畸变参数同时优化，最终优化出的结果如表3.3所示。
表3.3 优化后的单应矩阵与畸变参数
优化后的图像点如图3.7所示。
图3.7 优化后的图像点
从表3.1 ～ 表3.3中的单次模拟实验结果可以看出：在无噪声情况下，MECDPSI算法优化参数后的单应矩阵与畸变参数可以收敛到真值；随着噪声的增大，单应矩阵及初始畸变参数的估计可靠性变差，优化参数只能收敛到真值附近，但对于畸变参数而言，单应矩阵收敛效果更好。
3.4.2 多次实验结果
由于加入噪声的随机性，一次实验结果并不能有效体现MECDPSI算法的性能。因此，本节对畸变参数的估计进行了多次实验。多次实验条件如下。
（1）保持摄像机内参数不变。
（2）保持摄像机畸变参数不变
（3）随机产生摄像机旋转矩阵与平移向量（R,T）。
（4）每次生成的模拟图像大小为800像素×600像素。
（5）每次主点为图像中心点：(400,300)。
（6）在同一噪声水平下进行50次和100次实验，并计算所估计畸变参数的均值与方差。
采用两组不同的畸变参数对MECDPSI算法进行多次验证。第一组实验设置畸变参数值[k1,k2]=[1.6000E-08,2.5600E-13]，分别在无噪声、噪声水平为[-1,1]和噪声水平为[-2,2]的随机噪声下进行50次与100次实验，最终畸变参数均值、方差如表3.4所示。
表3.4 在多次实验条件下，第一组畸变参数下估计值的均值和方差
（续表）
第二组实验设置畸变参数值[k1,k2]=[1.0000E-04,1.0000E-09]，分别在无噪声、噪声水平为[-1,1]和噪声水平为[-2,2]的随机噪声下进行50次与100次实验，最终畸变参数均值、方差如表3.5所示。
表3.5 在多次实验条件下，第二组畸变参数下估计值的均值和方差
从表3.4与表3.5中可以看出，在摄像机畸变参数较小的情况下，图像中的随机噪声对摄像机畸变参数的估计值影响很大。随着摄像机畸变参数的增大，图像中的随机噪声对畸变参数的影响随之变小。