3.2　基础知识

3.2.1　平面单应变换（Homography）

假定摄像机成像模型为针孔模型，空间二维平面标定板位于世界坐标系的xW-yW平面，则空间二维标定板上的任意点XW到图像对应点U的成像过程可以表示为

U≈K[r1　r2　T]XW　　（3-1）

其中，为图像平面上对应图像点的齐次坐标；为对应模板平面上空间点的齐次坐标；为针孔模型下的摄像机内参数矩阵，fu和fv为摄像机的有效焦距，(u0,v0)为摄像机的主点；R=[r1　r2　r3]与为世界坐标系（平面模板坐标系）与摄像机坐标系之间的旋转矩阵和平移向量。H≈K[r1　r2　T]称为平面模板与图像平面之间的单应矩阵。由于3×3的单应矩阵H仅在相差一个尺度因子下有意义，因此单应矩阵H仅有8个独立未知数。由于一组空间点与图像点之间的对应关系可以提供两个关于单应矩阵的线性约束，因此单应矩阵H可以通过平面模板与图像平面之间非共线的4组对应点唯一确定。

3.2.2　摄像机畸变模型

通常情况下，由于光学成像原因，摄像机采集的图像会因为摄像机镜头光学结构不完美或镜头没有对齐而产生畸变，即从三维空间点XW到二维图像点U之间的映射不完全满足线性映射关系。

摄像机产生的畸变主要有两种形式：径向畸变和切向畸变。径向畸变是沿着过主点的射线方向产生的畸变，切向畸变是沿垂直于径向产生的畸变。常用的径向畸变和切向畸变的数学模型为

式中，(u0,v0)为摄像机的主点坐标；为针孔模型下理想的图像坐标；为含畸变的实际图像坐标；rp2=(up−u0)2+(vp−v0)2；；(k1,k2,…)为摄像机的径向畸变参数；(p1,p2,…)为摄像机的切向畸变参数。

畸变参数估计过程是指在已知畸变参数个数的情况下，如何由上述畸变模型估计畸变参数具体数值的过程。需要指出的是，尽管本章后续仅讨论含二阶径向畸变参数的估计问题，但从原理上说，本节的方法完全适用于任意畸变模型，包含切向畸变的情况。