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1.3.1 导数

在几何概念上,导数的思想是用直线逼近曲线,进行局部线性化,即使用简单的线性函数去描述复杂函数。如图1-8所示,在一元函数中,A点的导数是A点切线的斜率。

图1-8 导数示意图

一阶导数的表达式:

对函数进行线性逼近时,假设函数f(x)是一个可微函数,x0是定义域中的一个点,那么

其中,dx=Δ,df(x0)=f(x0+Δ)–f(x0)+o(Δ)

可推出:

常见函数的导数如下。

·多项式函数:

·三角函数:

·指数函数:

将二维平面扩展到多维后,一元函数变为多元函数,曲线变为曲面;曲线上点的切线只有一条,但曲面上点的切线却有无数条,此时可以用偏导数来表示多元函数沿着坐标轴的变化率。例如,fx(x,y)指的是函数在y轴方向不变,函数值沿着x轴方向的变化率;fy(x,y)指的是函数在x轴方向不变,函数值沿着y轴方向的变化率。