生日悖论

前阵子我给政府部门打了个电话，工作人员需要我提供出生日期，以便验证我的身份。我说完我的生日，她很开心地告诉我她的生日和我在同一天，“这是多罕见的巧合啊。”

但是真的是这样吗？生日在同一天真的非常罕见吗？

数学上的概率计算显示，在随机选择的23个人中，有2人在同月同日出生的概率就能达到50%。

很多人都会觉得这个结论特别不可思议。无论如何一年都有365天，如果闰年的话甚至还要多1天，怎么可能这么少的人数就能让“有2个人在同一天生日”的可能性达到50%呢？数学家理查德·冯·米泽斯（Richard von Mises）把这种现象称为“生日悖论”。

让我们来思考一下，为什么这么少的人数就足够使概率达到50%呢？显而易见，我们的直觉让我们把这个问题和另一个问题弄混了：“最少需要有多少人，才能保证有1个人在特定的一天（比如在我的生日那天）也过生日的概率达到50%？”

实际上，上述这个问题的正确答案是：要比23人多得多——至少需要253人。这是因为，通过计算可以发现，23个人能组成23×22/2=253⁽¹⁾个生日比较组（任意2个人的生日都可组成一组）。也就是说，与特定的生日（比如我的生日）进行比较时，同样需要253个生日比较组才能使“生日与我在同一天的概率”达到50%。当“我”是确定的时候，只需要随机找253个人，就能形成和“我”的生日进行比较的253个比较组了。

换一种表达方式，在开场阵容为23人（两支球队各11人，裁判1人）的足球比赛中，2人在同一天过生日的概率达到50%。

(1)　若将23人从1到23编号，1号可以与2号至23号中的每一个人比较，因此，1号可以组成22个比较组。与此同理，2号可以与3号至23号中的每一个人比较（2号与1号的比较组已经计算过了），2号可以组成21个比较组。以此类推，最终有22+21+20+…+2+1=(22+1)×22/2个比较组。——译者注（以下皆为译者注，不再一一标出。）