第2章　数学基础和软件基础

2.1　空间坐标系变换

本节给出描述空间直角坐标系变换的齐次变换矩阵。空间直角坐标系变换包含旋转和平移两部分，描述旋转可以用一个3×3的旋转矩阵，描述平移可用一个3×1的平移向量，使用旋转矩阵和平移向量可以定义4×4的齐次变换矩阵。

先介绍旋转，空间坐标系关系如图2-1所示，直角坐标系{B}的3个单位主矢量xB,yB,zB相对于直角坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵

图2-1　空间坐标系关系

该矩阵描述了坐标系{B}相对于{A}的方位，我们称其为坐标系{B}相对于{A}的旋转矩阵。旋转矩阵有9个元素，但3个列矢量AxB,AyB,AzB均为单位主矢量且两两垂直，所以有6个正交约束条件

故只含有3个独立元素。为正交矩阵，并且。绕X、Y、Z轴旋转δ的旋转矩阵分别为

对于平移，我们用一个平移向量p=AOB来描述，AOB是坐标系{B}的原点在坐标系{A}中的坐标，是3×1的向量。

设空间中一点P，它在坐标系{A}中的坐标为AP，在坐标系{B}中的坐标为BP，一般地

我们还可以用齐次坐标进一步简写上式，一个3×1坐标向量[x,y,z]T的齐次形式是4×1向量[x,y,z,1]T，不加区分地仍用AP、BP表示齐次坐标，则有

其中，为4×4齐次变换矩阵

这里，向量的左上角与矩阵的左下角均为B，可以看作相互抵消，只剩左上角标A。