1.4 计算机中的信息表示

1.4.1 信息与数据

在计算机系统中，数据是计算机加工处理的对象，凡是能够被计算机接受并处理的都是数据，它不仅指数值，还包括字母、汉字、声音、图形、图像等。信息所表达的含义反映的是现实的概念，不随载荷它的物理设备的不同而不同；数据则是信息的具体表现，是信息的载体。

1.4.2 二进制信息

计算机采用二进制码0和1的组合来表示所有的信息，即计算机采用二进制编码。计算机存储器中存储的都是由0和1组成的信息编码，它们分别代表各自不同的含义，有的表示计算机指令与程序，有的表示二进制数据，有的表示英文字母，有的表示汉字，还有的表示色彩与声音，它们分别采用各自不同的编码方案。

虽然计算机内部采用二进制编码来表示各种信息，但计算机与外部交往仍采用人们熟悉和便于阅读的形式，如十进制数据、中英文文字显示及图形描述。二进制和十进制之间的转换则由计算机系统内部来实现。

与十进制码相比，二进制码并不符合人们的习惯，但是计算机内部仍采用二进制编码表示信息，主要原因有以下4点。

（1）电路简单：二进制数中只有0和1两个数码，易于用两种对立的物理状态表示。例如：用开关的闭合与断开两种状态分别表示1和0；用电脉冲有与无两种状态分别表示1和0。一切有两种对立稳定状态的器件（即双稳态器件）均可表示二进制的0和1。十进制数有10个数码，需要一个10稳态的器件，显然设计有两种状态的器件要容易得多。

（2）可靠性高：计算机中实现双稳态器件的电路简单，并且两种状态所代表的两个数码在数字传输和处理中不容易出错，因而电路可靠性高。

（3）运算简单：在二进制中算术运算特别简单，可大大简化计算机中运算电路的设计。相对而言，十进制的运算规则复杂很多。

（4）易于逻辑运算：计算机的工作离不开逻辑运算，二进制数码的1和0正好可与逻辑命题的两个值“真”（True）与“假”（False）或“是”（Yes）与“否”（No）相对应，这样就为计算机的逻辑运算和程序中的逻辑判断提供了方便，使逻辑代数成为计算机电路设计的数学基础。

1.4.3 数据存储单位

计算机中的数据包括数值数据和非数值数据。数值数据有量的大小，而非数值数据是字符、声音、图形和动画等。所有的数据在计算机中都是用二进制形式表示和存储的。计算机常用的存储单位有位、字节和字。

（1）位（bit）：一个二进制位称为比特，它是计算机中存储数据的最小单位。一个二进制位只能表示0或1两种状态之一。

（2）字节（byte）:8个二进制位称为字节，通常用B表示，字节是计算机数据处理和存储的基本单位。

（3）字（word）：一个字由若干字节组成（通常取字节的整数倍），是计算机一次存取、加工和传送的数据长度。

计算机存储容量的大小是用字节的多少来衡量的，通常使用的衡量单位有B、KB、MB、GB、TB，其中B代表字节。这些衡量单位之间的换算关系如下。

1KB=1 024B　　　　1MB=1 024KB

1GB=1 024MB　　　 1TB=1 024GB

1.4.4 计算机的基本运算

在计算机中，采用二进制可实现各种算术运算和逻辑运算。二进制算术运算包括加法、减法、乘法和除法，其运算规则类似于十进制数的运算。

1.算术运算

（1）加法运算

二进制的加法运算法则如下。

0+0=0

0+1=1+0=1

1+1=0（向高位有进位）

1+1+1=1（向高位有进位）

例如，（1101）2+（1011）2的算式如下。

从执行加法的运算过程可知，两个二进制数相加时，每一位是3个数相加，即本位被加数、加数和来自低位的进位。进位可能是0，也可能是1。

（2）减法运算

二进制的减法运算法则如下。

0-0=1-1=0

1-0=1

0-1=1（向高位借位）

0-1-1=0（向高位借位）

例如，（11000011）2-（00101101）2的算式如下。

从执行减法的运算过程可知，两数相减时，有的位会发生不够减的情况，这时要向相邻的高位借位，借1当2。所以，做减法时除了每位相减，还要考虑借位情况，实际上每位也是3个数参加运算。

（3）乘法运算

二进制的乘法运算法则如下。

0×0=0

0×1=1×0=0

1×1=1

例如，（1110）2×（1101）2的算式如下。

从执行乘法的运算过程可知，两数相乘时，每个部分积都取决于乘数。乘数的相应位为1时，该次的部分积等于被乘数；为0时，部分积为0。每次的部分积依次左移一位，将各部分积累加起来，就得到最终乘积。

（4）除法运算

二进制的除法运算法则如下。

0÷0=0

0÷1=0（1÷0无意义）

1÷1=1

例如，（100110）2÷（110）2得商（110）2和余数（10）2，其算式如下。

由上可见，二进制除法运算与十进制除法运算类似。对整数除法可以先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则被除数（或中间余数）减去除数，商1，并将相减之后得到的中间余数左移一位（中间余数的最低位用下一位被除数补充）作为下一次的中间余数。若被除数（或中间余数）小于除数，则不做减法，商0，并将本次的中间余数左移一位（中间余数的最低位用下一位被除数补充），得下一位的中间余数。如此逐次进行比较、相减和移位，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

2.逻辑运算

（1）逻辑或运算

运算符：“+”或“∨”。运算规则如下。

① 0+0=0 或 0∨0=0

② 0+1=1 或 0∨1=1

③ 1+0=1 或 1∨0=1

④ 1+1=1 或 1∨1=1

例如，（110101）2∨（101100）2=（111101）2，其算式如下。

（2）逻辑与运算

运算符：“×”或“∧”。运算规则如下。

① 0×0=0 或 0∧0=0

② 0×1=0 或 0∧1=0

③ 1×0=0 或 1∧0=0

④ 1×1=1 或 1∧1=1

例如，（101101）2∧（110110）2=（100100）2。

（3）逻辑非运算

运算符：“-”。运算规则：0的非为1;1的非为0。例如，X=100101，则。

1.4.5 数制及转换

1.数制的基本概念

在日常生活中，常用不同的规则来记录不同的数，如1年有12个月，1h为60min,1min为60s,1m为10dm,1dm为10cm等。按进位的方法，表示一个数的计数方法称为进位计数制，又称数制。在进位计数制中，较常见的是十进制，此外还有十二进制、十六进制等。在计算机科学中使用的是二进制，但有时为了方便也使用八进制、十六进制。构成数制的两个要素是基数和位权。

基数：在一个数中的每个数位（指数码在一个数中所处的位置）上可能出现的不同数字的个数。例如，二进制数的基数是2，十进制数的基数为10。

位权：某个位置上的数所代表的数量大小，它表示此数在整个数中所占的分量（权重）。

（1）十进制

十进制计数法（Decimal Notation）的进位规则为“逢10进1”，一个十进制数的每位都只有10种状态，分别用数符（数码）0～9表示，任何一个十进制数都可以表示为数符与10的幂次乘积之和。例如，十进制数5 296.45可写成如下形式。

5 296.45=5×103+2×102+9×101+6×100+4×10-1+5×10-2

上式称为数值按位权多项式展开，其中10 的各次幂称为十进制数的位权，10称为基数。

（2）二进制

二进制计数法（Binary Notation）的进位规则为“逢2进1”，每位只有0和1两种状态，位权为2的各次幂。任何一个二进制数，同样可以用多项式之和来表示，如二进制数1011.01可以写成如下形式。

1011.01=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2

二进制数整数部分的位权从最低位开始依次是20,21,22,23,24,…，小数部分的位权从最高位开始依次是2–1,2–2,2–3,2–4,…，二进制数小数部分的位权与十进制数值的对应关系如表1.1所示。

（3）八进制和十六进制

八进制数的基数为8，进位规则为“逢8进1”，使用0～7共8个符号，位权是8的各次幂。例如，八进制数3 626.71可以表示如下。

3 626.71=3×83+6×82+2×81+6×80+7×8-1+1×8-2

十六进制数的基数为16，进位规则为“逢16进1”，使用0～9以及A、B、C、D、E、F共16个符号，其中A～F的十进制数值为10～15。位权是16的各次幂。例如，十六进制数1B6D.4A可表示如下。

1B6D.4A=1×163+11×162+6×161+13×160+4×16-1+10×16-2

各种进制数的表示方式如表1.2所示，表中，i=0,1,2,3,…,n，为数位的编号，表示数的某一数位。

（4）进位计数制的表示

综合以上几种进位计数制，可以概括出：对于任意进位的计数制，基数可以用正整数R来表示，称为R进制。这时数N表示为多项式。

式中，m和n均为正整数（可以是0）,ki则是0,1,…,R–1中的任何一个；Ri是位权，采用“逢R进1”的原则进行计数。常用的几种进位计数制的表示方法及其相互之间的对应关系见表1.3。

4种进位计数制在书写时有以下3种表示方法。

① 在数字的后面加上下标（2）、（8）、（10）、（16），分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制的数。

② 把一串数用括号括起来，再加上这种进位计数制的下标2、8、10、16。

③ 在数字的后面加上进制的字母符号[B（二进制）、O（八进制）、D（十进制）、H（十六进制）]来表示。

例如，10110101（2）=265（8）=181（10）=B5（16），也可表示为（10110101）2=（265）8=（181）10=（B5）16或10110101B=265O=181D=B5H。

2.不同计数制之间的转换

不同计数制之间的转换包括：非十进制数转换为十进制数，十进制数转换为非十进制数，非十进制数之间的转换。

（1）二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数

将二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数，可以简单地按照多项式求和的方法直接计算出。例如，

（101.01）2=1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=（5.25）10

（2 576.2）8=2×83+5×82+7×81+6×80+2×8-1=（1 406.25）10

（1A4D）16=1×163+10×162+4×161+13×160=（6 733）10

（F.B）16=15×160+11×16-1=（15.687 5）10

（2）十进制数转换成非十进制数

将一个十进制数转换成二进制数、八进制数、十六进制数时，其整数部分和小数部分分别遵守不同的规则。下面先以十进制数转换成二进制数为例进行说明。

① 十进制整数转换成二进制整数

十进制整数转换成二进制整数时，采用的规则通常是“除2取余，逆序读数”，即把已知十进制数反复除以2，每次相除后若余数为1，则对应二进制数的相应位为1；若余数为0，则相应位为0。首次相除得到的余数是二进制数的最低位，后面的余数为高位。从低位到高位逐次进行，直到商为0。

例1.1（13）10=（）2？

解：该数为整数，用“除2取余法”，即把该整数反复用2除，直到商为0；再将余数依次排列，先得出的余数在低位，后得出的余数在高位。

由此可得（13）10=（1101）2。

同理，可将十进制整数通过“除8取余，逆序读数”和“除16取余，逆序读数”分别转换成八进制整数和十六进制整数。

② 十进制纯小数转换成二进制纯小数

十进制纯小数转换成二进制纯小数采用的规则为“乘2取整，顺序读取”，即把已知十进制纯小数反复乘以2，每次乘以2后所得新数的整数部分若为1，则二进制纯小数的相应位为1；若整数部分为0，则相应位为0。从高位向低位逐次进行，直到满足精度要求或乘以2后的小数部分是0为止。

例1.2（0.312 5）10=（）2？

解：

由此可得（0.312 5）10=（0.010 1）2。

多次乘以2的过程可能是有限的，也可能是无限的。当乘以2后得到的数小数部分等于0时，转换即告结束。当乘以2后得到的数小数部分总不为0时，转换过程将是无限的，这时应根据精度要求取近似值。若未提出精度要求，则一般小数位数取6位；若提出了精度要求，则按照精度要求取相应的位数。

同理，可将十进制纯小数通过“乘8（或16）取整，顺序读取”转换成相应的八（或十六）进制纯小数。

③ 十进制混合小数转换成二进制数

混合小数由整数和小数两部分组成，将其整数部分和小数部分分别进行转换，然后再用小数点连接起来，即可得到所要求的二进制数。

例1.3（13.312 5）10=（）2？

解：只需将前面两例的结果用小数点连接起来即可。可得（13.312 5）10=（1101.0101）2。

上述将十进制数转换成二进制数的方法，同样适用于将十进制数转换成八进制数和十六进制数，只不过所用基数不同而已。

例1.4 求（58.5）10=（）8。

解：先求整数部分，除8取余。

再求小数部分，乘8取整。

0.5×8=4.0 取 4

整数部分与小数部分用小数点相连，得结果为（58.5）10=（72.4）8。

例1.5 将十进制数4 586.32转换成十六进制数（取4位小数）。

解：先求整数部分，除16取余。

再求小数部分，乘16取整。

两部分用小数点相连，得结果为（4 586.32）10=（11EA.51EB）16。

（3）非十进制数之间的转换

非十进制数之间的转换包括二进制数与八进制数之间的转换、二进制数与十六进制数之间的转换等。

① 二进制数转换成八进制数

由于23=8，每位八进制数都相当于3位二进制数，因此，将二进制数转换成八进制数时，只需以小数点为界，分别向左、向右将每3位二进制数分为一组，最后不足3位时用0补足3位（整数部分在高位补0，小数部分在低位补0），将每组分别用对应的1位八进制数替换，即可完成转换。

例1.6 把（11010101.0100101）2转换成八进制数。

解：

可得（11010101.0100101）2=（325.224）8。

② 八进制数转换成二进制数

由于八进制数的1位相当于二进制数的3位，因此将八进制数的每位用相应的3位二进制数替换，即可完成转换。

例1.7 把（652.307）8转换成二进制数。

解：

可得（652.307）8=（110101010.011000111）2。

③ 二进制数转换成十六进制数

由于24=16,1位十六进制数相当于4位二进制数，因此仿照二进制数与八进制数之间的转换方法，很容易得到二进制数与十六进制数之间的转换方法。

对于二进制数转换成十六进制数，只需以小数点为界，分别向左、向右将每4位二进制数分为1组，不足4位时用0补足4位（整数部分在高位补0，小数部分在低位补0）。然后将每组分别用对应的1位十六进制数替换，即可完成转换。

例1.8 把（1011010101.0111101）2转换成十六进制数。

解：

可得（1011010101.0111101）2=（2D5.7A）16。

④ 十六进制数转换成二进制数

对于十六进制数转换成二进制数，将十六进制数的每位用相应的4位二进制数替换，即可完成转换。

例1.9 把（1C5.1B）16转换成二进制数。

解：

可得（1C5.1B）16=（111000101.00011011）2。

1.4.6 字符的计算机编码

1.字符编码的基本知识

字符是各种文字和符号的总称，包括各国文字、标点符号、图形符号、数字以及一般不可见的控制字符。字符编码是指将字符表示为一个二进制数。

字符集是字符的集合，有时也称编码字符集，字符集为每个字符分配一个唯一的整数。

代码点是指可用于编码字符集的整数。由编码字符集定义的代码点的取值范围称为编码空间。每个代码点表示一个字符，或被声明为未使用。

字符编码方案是从编码空间的每个代码点到1个或多个固定宽度编码单元序列的映射。编码单元是表示代码点的基本二进制序列，一般为8bit、16bit或32bit。通常每个代码点只需用1个编码单元表示，但如果编码单元的表示范围小于编码空间，则需要用多个编码单元来表示一个代码点。由于字节是计算机最基本的数据表示单位，因此编码单元最终将转换为字节序列。

对字符的完整编码过程为：先为字符分配一个代码点，然后用1个或多个编码单元表示，最后转换为直接用二进制数表示的字节序列。

2.ASCII码及其ANSI扩展

ASCII码用于编码国际上通用的西文字符。ASCII码一般使用8bit（1个字节）编码单元表示字符，最高位恒为0，只用低7bit对字符进行编码，能表示27=128种字符。如表1.4所示，ASCII字符集包括26个大写字母A～Z（码值为65～90）、26个小写字母a～z（码值为97～122）、10个数字0～9（码值为48～57）、32个标点符号和运算符、1个空格（码值为32）以及33个控制字符（码值为0～31和127）。

由表1.4不难看出，每个ASCII码由一个高3bit组（b6b5b4）和一个低4bit组（b3b2b1b0）构成。例如：回车符“CR”的ASCII码为0001101，可用十六进制数0DH表示；换行符“LF”的ASCII码为0001010，可用十六进制数0AH表示；数字“9”的ASCII码为0111001，可用十六进制数39H表示；字母“W”的ASCII码为1010111，可用十六进制数57H表示。

由于ASCII码只使用单字节编码单元中的低7bit，因此ASCII码可被扩展。在美国国家标准学会（American National Standards Institute,ANSI）标准中，ASCII扩展字符集仍然使用单字节编码单元，要求ASCII码必须用一个等值的、高位为0的编码单元表示。但对于其他高位为1的编码单元，则依赖于特定字符集的具体定义。通常，我们将按ANSI标准派生的ASCII扩展字符集统称为ANSI字符集（如Latin-1、GB2312、Big-5等），有时也称多字节字符集。

3.汉字编码

汉字也是一种字符，通常把汉字在计算机中的二进制数表示称为汉字的机内码（或称汉字内码）。汉字内码的编制依赖于编码规则，常用汉字编码标准有GB2312、Big-5、《汉字内码扩展规范》（GBK）、通用码（Unicode）等。

（1）GB2312

GB2312或GB2312-80是简体中文字符集的国家标准，其简称为国标码。我国几乎所有的中文系统和国际化的软件都支持GB2312。

① 国标字符集与区位码

GB2312-80标准共包括6 763个汉字，按汉字的使用频率，分为一级汉字（3 755个）和二级汉字（3 008个）。在GB2312-80标准中，所有符号按区位编排，共设94区，每区含有94个汉字和符号。一级汉字按拼音顺序排列，占据16～55区；二级汉字按部首顺序排列，占据56～87区；前15区用来编排西文字母、数字、图形符号，以及用户自定义的专用符号；目前，10～15区空着。国标码（GB2312-80）编排如表1.5所示。

在国标GB2312-80中，国标码除了用双7位二进制数表示，还可以表示成区位码的形式，即在国标代码表中，将行号称为区号，将列号称为位号，分别有94个区和94个位。区号和位号用十进制数表示，不足两位时前面补0。这样，每个汉字或符号都可用4位十进制数表示。因此，区位码可以用作输入码，是汉字输入的基本编码方法之一。区位码与国标码有如下的对应关系。

汉字国标码=汉字区位码（十六进制）+2020H

例如，汉字“大”的区号为20，位号为83，即“大”的区位码为2083（1453H）;“大”的国标码为3473H（1453H+2020H）。

② 汉字机内码

在计算机中双字节汉字与单字节西文字符混合使用，汉字编码的各个字节若不予以特别标识，就会与单字节的ASCII码混淆不清；为此，将标识汉字的两个字节编码的最高位置为1，这种最高位为1的双字节汉字编码就是汉字机内码，简称内码，是计算机内部存储、处理汉字所使用的代码。机内码在相应国标码的每个字节最高位上加“1”，即：

汉字机内码=汉字国标码+8080H

需要特别注意的是，汉字的区位码是用十进制数表示的，通常记为“区号－位号”。在进行国标码、区位码、机内码3种汉字编码的转换时，千万不要忘记先将十进制的区位码转换成十六进制，再利用上述关系式进行转换。

内码、国标码、区位码3者的关系如下。

高字节内码=高字节国标码+80H=区码+20H+80H=区码+0A0H

低字节内码=低字节国标码+80H=位码+20H+80H=位码+0A0H

③ 汉字字形码

汉字机内码不可能直接在屏幕上显示和在打印机上输出，必须把它转换成对应的汉字字形码。汉字字形码是指确定一个汉字字形点阵的代码，又称为汉字字模码或汉字输出码。在一个汉字点阵中，凡笔画所到之处，记为“1”，否则记为“0”。汉字的字形通常采用点阵的方式产生。汉字点阵有16×16点阵、32×32点阵、64×64点阵等，点阵不同，汉字字形码的长度也不同。点阵数越大，字形质量越高，字形码占用的字节数越多。

图1.14显示了“国”字的24×24点阵字形。深色小正方形表示二进制位的信息“1”，浅色小正方形表示二进制位的信息“0”。

汉字字形码又称为汉字输出码或汉字发生器的编码。

④ 汉字输入码

汉字输入码也称外码，是指从键盘上输入的代表汉字的编码。汉字输入码有多种，大致可分为以下4类。

流水码：根据汉字的排列顺序形成汉字编码，如区位码、国标码、电报码等。流水码输入法简单唯一，但较难记忆和掌握。

音码：根据汉字的读音进行编码，如全拼码、双拼码、简拼码等。音码输入法易于掌握，懂汉语拼音即可，但重码率高，不便于盲打。

形码：根据汉字的字形进行编码，如王码五笔、郑码、大众码等。

音形码：根据汉字的字音和字形进行汉字编码，如表形码、首尾码等。

多数汉字输入法都提供了重码字辅助选择、词组输入、联想输入等功能，以方便用户输入汉字。不论是哪一种汉字输入方法，利用输入码将汉字输入计算机后，都必须将其转换为汉字机内码，才能进行相应的存储和处理。

（2）Big-5

Big-5是一种繁体字编码方案，又称大五码。Big-5码收录了符号和汉字共13 461个，每个汉字由两个字节构成，第一个字节的范围是A0H～FEH，第二个字节的范围不连续，分别为40H～7EH和A1H～FEH，因此，汉字第一个字节的最高位总是1，第二个字节的最高位可能是1或0。

（3）GBK

GBK 是一种汉字编码标准，是在GB2312-80标准基础上的内码扩展规范，它使用了双字节编码方案，其编码范围是8140H～FEFEH，共23 940个码位，共收录了21 003个汉字，完全兼容GB2312-80标准，并包含了Big-5编码中的所有汉字。

（4）Unicode编码

Unicode 是当前国际上通用的字符编码规范，它为全世界所有语言的每个字符都设定了统一且唯一的二进制编码，以满足跨语言、跨平台进行文本转换、处理的要求，它由Unicode学术学会制订，于1990年开始研发，1994年正式公布。

在Unicode出现前，有数百种字符编码系统，但没有任何一种编码能够包含足够的字符，并且这些编码系统相互之间存在冲突。而 Unicode 正在改变这一切，Unicode 标准已经被计算机业界接受，许多操作系统、各种浏览器以及许多其他软件产品都支持Unicode。