3.5 梯度下降模型实例
实例1：使用Python实现线性回归梯度下降模型
在3.3节中我们使用最小二乘法完成了一元线性回归的参数求解过程，本节的第一个例子就使用Python完成梯度下降算法对3.3节数据集合对应的一元线性回归模型进行求解。代码如下：
import numpy as np
from numpy import dot
from numpy import mat
#y=2x
X = mat([1,2,3]).reshape(3, 1)
Y = 2*X
theta = 1.
alpha = 0.1
for i in range(100):
theta = theta + np.sum(alpha * (Y- dot(X, theta))*X.reshape(1,3))/3.
print(theta)
数据准备部分与3.3节完全相同，在这里就不赘述了。接下来的代码是模型参数的初始化，我们人为设定起始参数为1.0，也可以使用随机算法生成随机参数。另外，我们还需要指定学习速率，在本例中使用0.1。
theta = 1
alpha = 0.1
然后指定梯度下降的学习速率，学习速率在这里指定为0.1。一般来说，梯度下降学习速率太快（α过大）容易导致算法无法收敛，梯度下降学习速率太慢（α过小）容易造成计算资源的浪费和模型运行时间过长。
for i in range(100):
theta = theta + np.sum(alpha * (Y- dot(X, theta))*X.reshape(1,3))/3.
接下来的代码进行参数更新，即梯度下降的实际运行过程通过NumPy矩阵运算，我们很容易就可以完成更新量的计算，通过循环更新参数集合100次。整个过程比较清晰，但是有一点需要特别注意，如果是多元线性回归模型，就需要在一次计算中同步更新参数矩阵的所有要素。
例如下面的三元线性回归模型中，每次循环中需要对参数矩阵的4个要素同时进行更新。
for i in range(10000):
temp[0] = theta[0] + alpha*np.sum((Y-dot(X, theta))*X0)/150.
temp[1] = theta[1] + alpha*np.sum((Y-dot(X, theta))*X1)/150.
temp[2] = theta[2] + alpha*np.sum((Y-dot(X, theta))*X2)/150.
temp[3] = theta[3] + alpha*np.sum((Y-dot(X, theta))*X3)/150.
theta = temp
实例2：使用TensorFlow框架实现线性回归梯度下降模型
本例介绍使用TensoFlow进行线性回归的过程。
import tensorflow as tf
x = tf.constant([[1], [2], [3], [4]], dtype=tf.float32)
y_true = tf.constant([[0], [-1], [-2], [-3]], dtype=tf.float32)
linear_model = tf.layers.Dense(units=1)
y_pred = linear_model(x)
loss = tf.losses.mean_squared_error(labels=y_true, predictions=y_pred)
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01)
train = optimizer.minimize(loss)
init = tf.global_variables_initializer()
sess = tf.Session()
sess.run(init)
for i in range(100):
_, loss_value = sess.run((train, loss))
print(loss_value)
print(sess.run(y_pred))
虽然使用TensorFlow看起来代码量比使用Python的NumPy框架进行数学运算时多不少，但是本实例代码完美地体现了TensorFlow的设计思想，具有平滑的学习曲线这样一个内在优势。因此，线性回归过程完成机器学习代数化向语义的进化，这样一套代码完全遵守TensorFlow机器学习的标准流程（模型构建、模型初始化、模型训练），而且将复杂的数学表达式封装成了mean_squared_error等方法，也使初级开发者更加容易掌握，而高级开发者可以聚焦模型构建本身。
首先是框架的引入和数据的准备，为了能够聚焦到线性回归模型本身，我们依然使用非常简单的数据集合，使用TensorFlow中的常量来直接存储。
x = tf.constant([[1], [2], [3], [4]], dtype=tf.float32) y_true = tf.constant([[0], [-1], [-2], [-3]], dtype=tf.float32)
接下来的部分是模型的构建过程，也是我们要重点讲解的内容。
linear_model = tf.layers.Dense(units=1)
此处建立一个一元线性模型，units=1表示输入一个参数。这里我们使用了TensorFlow自己的层模型，也可以用Keras模块中的层模型进行替换。
y_pred = linear_model(x) loss = tf.losses.mean_squared_error(labels=y_true, predictions=y_pred) optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01) train = optimizer.minimize(loss)
通过mean_squared_error告知了TensorFlow在框架运行时计算预测值和标签值的偏差平方和，并以最小化这个值作为训练目的（optimizer.minimize(loss)）。
init = tf.global_variables_initializer()
sess = tf.Session()
sess.run(init)
for i in range(100):
_, loss_value = sess.run((train, loss))
print(loss_value)
print(sess.run(y_pred))
上面的代码是训练过程的详细实现，我们惊喜地发现，训练过程（包含参数初始化）和第2章例子的流程完全一致，因此在学习过程中只要聚焦于模型构建本身就可以了。