第一节 风力机的理论

风能就是风的动能，人类利用风轮叶片将风的动能转换成机械能，再利用机械能或将机械能转换成其他形式的能量为人类服务，利用风轮叶片接受风能的机械设备称作风力机。

关于风力机的理论有几种，如贝茨（Betz）理论，萨比宁（Sabinin）理论，葛劳渥（Glauert）理论，斯特法尼亚克（Stefaniak）理论，许特尔（Hütter）理论等。这些理论的实质都差不多，本书主要介绍贝茨（Betz）理论和葛劳渥（Glauert）理论，他们是风力机最基本的理论。

1.贝茨（Betz）理论

世界上第一个关于风力机风轮叶片接受风能的完整理论是1919年由A·贝茨（Betz）建立的。贝茨理论的建立，是假定风轮是理想的，全部接受风能（没有轮毂），叶片无限多，对空气流没有阻力，空气流是连续的，不可压缩的，叶片扫掠面上的气流是均匀的，空气流速度的方向不论在叶片前或流经叶片后都是垂直叶片扫掠面的，或称平行风轮轴线的，这时的风轮称为“理想风轮”。

图3-1是贝茨“理想风轮”的理论计算图。分析一个放置在流动空气中的“理想风轮”叶片上所受到的力及流动的空气对风轮叶片所做的功。设风轮前的空气流速为v₁，流经风轮叶片的空气流速为v，v₂是风轮叶片扫掠后的空气流速；通过风轮叶片前的风速v₁流经的截面为S₁，叶片扫掠面积为S，叶片扫掠后空气流速v₂流经的截面为S₂。

图3-1 理想风轮

v₁—叶片前的空气流速 v—空气流流经叶片的流速 v₂—叶片扫掠后的流速 S₁—叶片前空气流流经的截面 S—空气流扫掠叶片时的截面 S₂—叶片扫掠后空气流流经的截面

空气流以v₁的流速吹在叶片上，叶片转动，将风能转换成机械能，则必然是

v₁＞v₂，S₂＞S₁ （3-1）

于是得

S₁v₁=S₂v₂=Sv （3-2）

由欧拉定理求得空气流流经叶片时叶片受力F，由于v₂＜v₁，故应加负号：

F=-ρSv（v₂-v₁）

即

F=ρSv（v₁-v₂） （3-3）

式中 ρ——空气当时的密度；

ρ^Sv——空气当时的质量；

风轮所接受的空气流的功率为

N=Fv=ρSv²（v₁-v₂） （3-4）

经过风轮叶片时，空气流的动能转化成叶片旋转的机械能为

解式（3-6），得

因而，空气流作用在风轮叶片上的力F和风轮输出的功N分别为

空气流的流速v₁是给定，N的大小取决于v₂，N是v₂的函数，对N微分求最大值，得

令其等于0，求解方程，得

将式（3-11）代入式（3-9），得

令=0.593=C_P，C_P称作贝茨功率系数，则有

空气流作用在风轮叶片上的力F为

而ρSv³₁正是空气流为流速v₁时的动能T，故

N_max=C_PT （3-14）

空气流即是风，C_P=0.593说明风吹在风轮的叶片上，风轮叶片所能获得的最大功率N_max为风吹过叶片扫掠面积S的风能的59.3%。贝茨理论说明，“理想风轮”叶片接受风能的最高效率为59.3%。

通常风力机风轮叶片接受风能的效率达不到59.3%，一般设计时根据风轮叶片的数量、叶片翼型、叶片迎角、风轮转速等情况，取C_P值为0.25～0.45。

2.葛劳渥（GLauert）理论

葛劳渥理论亦称葛劳渥风能旋涡理论。

当空气流流经风轮叶片后缘便形成旋涡，一个旋涡靠近轮毂，另一个旋涡靠近叶尖。也即风经过叶片后，气流随后成为螺旋状，而叶片后缘的气流也成为螺旋状，进而形成以风轮轴线为轴的气流螺旋线。如图3-2a、b所示。

图3-2 葛劳渥风能旋涡与磁场旋涡

a）多叶片低速风轮的旋涡 b）高速风轮的旋涡 c）磁场旋涡

空间给定一点的风速，可以看作是直线运动的风速和旋涡诱导速度的合速度，而旋涡诱导速度又是三个旋涡速度的合速度。第一个旋涡是附着在叶片上的旋涡附着涡，第二个旋涡是螺旋后缘旋涡和第三个旋涡的中心涡旋涡。风轮有K个叶片，就有3K个旋涡环量。

葛劳渥旋涡理论是以叶片接受风能旋转出现的旋涡模拟通电导线的磁场旋涡诱导出来的理论和计算公式。图3-2c所示为磁场的旋涡系。它是由一根电流为KI的中心导线和K根经导线及环形导线组成，每根导线流经I电流，这有如K条流量为I的小河汇流到中心流量为KI的大河一样。中心导线的电流磁场H_C和经导线电流磁场H_M且方向相反。即

H_D=H_C+H_M

距离平面后r_i处的合磁场为

H=H_D+H_C+H_NH=2H_D

在圆面内从中心向外r处的合成磁场为

H=H_C+H_M=H_D

环形螺线管所产生的磁场与螺线管电流磁场相似，其电流磁场为

H_S=n_LI

式中 n_L——单位长度的导线

在螺线管末端圆面上所产生的电流磁场为H_S/2=n_LI/2。

现在来考虑风轮旋涡与磁场旋涡的相似性和相对应的关系。环形磁场2H_D相当于风轮周向诱导风速v_y，风以一定转速绕自身轴线旋转，与叶片的转向相反。在风轮面内环形电流磁场相当于风轮周向诱导速度v_y/2及诱导转速n_y/2，圆面前的电流磁场为零，相当于风轮前面旋转速度为零。设v是风轮后旋涡系的轴向诱导风速，相当于轴向电流磁场n_LI，与风速v₁的方向相同。在旋转平面内轴向诱导速度仅为v_y/2，相当于电流磁场n_LI/2。因此，合成风速为

风通过风轮时的风速为

风通过风轮后的风速为

v₂=v₁-v_y （3-16）将式（3-15）和式（3-16）消去v_y，得

这与贝茨理论导出的式（3-7）的结果是相同的。葛劳渥旋涡理论是通过风轮后及风轮上空气流的旋涡与相似导线电流的磁场理论得到的，它的结果与贝茨理论结果一致。

贝茨风能理论是风力机设计的最基本理论。到目前为止，还没发现有突破贝茨风能利用效率的风力机。

贝茨风能理论是建立在“理想风轮”基础上的，贝茨风能理论没有给定“理想风轮”叶片的形状、翼型、迎角、叶片扭曲等直接影响风轮接受风能的各种条件，因此，在设计风力发电机组的风轮时，必须考虑叶片接受风能的各种要素，力求获得较高的贝茨风能效率。