4.3　三角函数、解三角形、平面向量高考大题实战典型例题

例4-35　在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足2bsin（C+）=a+c。

（1）求∠B的大小；

（2）若点M为BC的中点，且AM=AC，求sin∠BAC。

解：（1）2sinB（sinC·+cosC·）=sinA+sinC，

即sinBsinC+sinBcosC=sinA+sinC

∵sinA=sin[π－（B+C）]

　　　=sin（B+C）

　　　=sinBcosC+cosBsinC

∴sinBsinC+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，

∴sinBsinC=cosBsinC+sinC，∴sinB=cosB+1，

∴2sin（B－）=1，得B=

（2）取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设CD=x，则BD=3x，

由（1）知B=，∴AD=3x，AC=2x，

由正弦定理，， 解得，sin∠BAC=

例4-36　△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且2bcosC+c=2a。

（1）求∠B的大小；

（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积。

解：（1）由已知2bcosC+c=2a，得2sinBcosC+sinC=2sinA，

∵sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

∴2sinBcosC+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC，

sinC=2cosBsinC，

2cosB=1，cosB=，∴B=

（2）解法一

在△ABC中，由余弦定理得=c2+－2c·cosA，

所以=c2+bc 　　　　①

由sinA=，

所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，

由正弦定理，，有， 所以c=b 　　　　②

由①②解得

所以S△ABC=bcsinA=×5×7×=10

解法二

sinA=，sinB=，

由正弦定理，，有，　所以c=b，

由cosA=，cosB=，

解得，b=7，c=5， S△ABC=bcsinA=×5×7×=10

解法三

同解法一，不解方程组，直接化成bc来做。

例4-37　在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。

已知a≠b，c=，cos2A－cos2B=sinAcosA－sinBcosB

（1）求角C的大小；

（2）若sinA=，求△ABC的面积。

解：（1）由题意得sin2A－sin2B

即sin2A－cos2A=sin2B－cos2B

sin（2A－）=sin（2B－）

由a≠b，得A≠B，又A+B∈（0，π），得2A－+2B－=π

即A+B=，所以C=

（2）由c=，sinA=，得a=

由a<c，得A<C，从而cosA=，

故sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC

=

所以，△ABC的面积为S=acsinB=

例4-38　在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC

（1）求A的大小；

（2）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状。

解：（1）2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，

根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

即a2=b2+c2+bc，则sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC

由余弦定理得a2=b2+c2－2bccosA，

故cosA=－，A=120°

（2）由（1）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC 　　 ①

又sinB+sinC=1　　　 ②

联立，解得sinB=sinC=

因为0°<B<90°，0°<C<90°

故B=C，所以△ABC是等腰三角形。

例4-39　求y=sinx+cosx+sinxcosx 的值域。

解：令t=sinx+cosx，t2=1+2sinxcosx，

y=sinx+cosx+sinxcosx=t+（－≤t≤）

故值域为[－1，]。

例4-40　求函数y=7－4sinxcosx+4cos2x－4cos4x的最大值与最小值。

解：y=7－4sinxcosx+4cos2x－4cos4x

　 　=7－2sin2x+4cos2x（1－cos2x）

 　　=7－2sin2x+4cos2xsin2x

 　　=7－2sin2x+sin22x

 　　=（sin2x－1）2+6

由于z=（u－1）2+6在[－1，1]中的最大值为zmax=（－1－1）2+6=10

最小值为zmin=（1－1）2+6=6

故当sin2x=－1时，y取最大值10

当sin2x=1时，y取最小值6

例4-41　求函数y=（sin2x+1）（cos2x+3）的最大值。

解：解法一

y=（sin2x+1）（cos2x+3）

 =sin2xcos2x+cos2x+3sin2x+3

 =sin2x（1－sin2x）+2sin2x+4

 =－（sin2x2）+3sin2x+4

因为0≤sin2x≤1，

令x’=sin2x，y=－x’2+3x’+4（0≤x’≤1）

所以ymax=－1+3+4=6

解法二

y=（sin2x+1）（cos2x+3）

  =sin2xcos2x+cos2x+3sin2x+3

  =sin2x（cos2x+1）+sin2x+4

  ≤+sin2x+4

（均值不等式≥a1，a2…an，当且仅当a1=a2=…=an时等号成立。）

当且仅当sin2x=cos2x+1，即sin2x=1时取等号，此时sin2x也取得最大值1，因此原函数的最大值为ymax=1+1+4=6

解法三

y=（sin2x+1）（cos2x+3）

y=（sin2x+1）（－sin2x+4）

令t=sin2x⇒t∈[0，1]

y=（t+1）（－t+4）为二次函数

对称轴（极值点）x=－=－

对称轴为，而0≤sin2x≤1，

所以y=－1+3+4=6

例4-42　△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。

（1）若a，b，c成等差数列，证明:sinA+sinC=2sin（A+C）；

（2）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值。

解：（1）∵a，b，c成等差数列，

∴a+c=2b。

由正弦定理得sinA+sinC=2sinB

∵sinB=sin[π－（A+C）]=sin（A+C）

∴sinA+sinC=2sin（A+C）

（2）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac

由余弦定理得cosB=≥

当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为

例4-43　已知sin（α－）=a（a≠±1，a≠0），求cos（α+）tan（α－）+的值。

解：cos2（α－）=1－sin2（α－）=1－a2

cos（α+）tan（α－）+

=－cos（α－）tan（α－）+

=－sin（α－）－=－a－

例4-44　已知函数f（x）=cos（x－），x∈R。

（1）求f（－）的值；

（2）若cosθ=，θ∈（，2π），求f（2θ+）。

解：（1）f（－）=cos（－）=cos（－）=cos=1；

（2）f（2θ+）=cos（2θ+）=cos（2θ+）=cos2θ－sin2θ

因为cosθ=，θ∈（，2π），所以sinθ=－，

所以sin2θ=2sinθcosθ=－，cos2θ=cos2θ－sin2θ=－

所以f（2θ+）=cos2θ－sin2θ=－－（－）=

例4-45　证明。

证明:左边=

　　　　 =

 　　　　=

　　　　 ==右边

所以，原等式成立。

例4-46　某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

① sin213°+cos217°－sin13°cos17°；

② sin215°+cos215°－sin15°cos15°；

③ sin218°+cos212°－sin18°cos12°；

④ sin2（－18°）+cos248°－sin（－18°）cos48°；

⑤ sin2（－25°）+cos255°－sin（－25°）cos55°。

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 ，

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广成三角恒等式，并证明你的结论。

（1）解：选择②式计算如下

sin215°+cos215°－sin15°cos15°=1－sin30°=

（2）证明:sin2α+cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）

=sin2α+（cos30°cosα+sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α－sinαcosα－sin2α =sin2α+cos2α=

例4-47　已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，－≤φ<）的图像关于直线x=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π。

（1）求ω和φ的值；

（2）若f（）=<α<），求cos（α+）的值。

解：（1）∵由题意知，周期T=π ∴T=∴ω=2；

∵x=为对称轴，∴f（）=f（）=0，且－≤φ<，

∴f（x）=sin2（x－）=sin（2x－），φ=－

（2）∵f（）=，∴sin（α－）=，即sin（α－）=

∵cos（α+）=sinα=sin[（α－）+]

　　　　　　　  =sin（α－）×+cos（α－）×，

∵<α<，∴0<α－，∴cos（α－）=，

∴cos（α+）=

所以cos（α+）=

例4-48　已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx－（a>0，ω>0）的最大值为2，且最小正周期为π。

（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；

（2）若f（α）=，求sin（4α+）的值。

解：（1）f（x）=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ），

由题意知，f（x）的周期为π，可知ω=1；

由f（x）的最大值为2，故=2。

又a>0，∴a=1，∴f（x）=2sin（2x+），

令2x++kπ

解得f（x）的对称轴为x=（k∈Z）。

（2）由f（α）=知2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，

∴sin（4α+）=sin=－cos2（2α+）

　　　　　　　 =－1+2sin2（2α+）=－1+2×=－

例4-49　已知函数f（x）=4cosx·sin（x+）（>0）的最小正周期为π。

（1）求的值；

（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性。

解：（1）原函数可化为

2cosωx（sinωx+cosωx）=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx+1）=2sin（2ωx+）+

⇒=π⇒ω=1。

所以f（x）=2sin（2x+）+，ω=1

（2）y=f（x）在[0，]上单调递增；

在[]上单调递减。

当x∈[0，]时，2x+∈[，π+]，

令2x+，解得x=；

所以y=f（x）在[0，]上单调递增；在[]上单调递减。

例4-50　设f（x）=sinx+sin（x+）－cos（x+），x∈[0，2π]。求函数f（x）的最小正周期和单调函数。

解： f（x）=sinx+sin（x+）－cos（x+）

　　　　　=sinx+sinxcos+cosxsin－cosxcos+sinxsin

　　　　　=sinx+sinx+cosx+cosx－sinx

　　　　　=sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+）

∵x∈[0，2π]，∴ 该函数无周期性。

当+2kπ≤x+≤+2kπ时，函数f（x）单调递减，

即+2kπ≤x≤+2kπ，

∵x∈[0，2π]

∴函数f（x）的单调递减区间为[），单调递增区间为[0，）和[，2π]

例4-51　已知函数f（x）=sin（x－）+cos（x－），g（x）=2sin2

（1）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；

（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合。

解：（1）f（x）=sin（x－）+cos（x－）=sinx－cosx+cosx+sinx=sinx

⇒f（α）=sinα=

⇒sinα=，α∈（0，）⇒cosα=，g（α）=2sin2=1－cosα=

（2）f（x）≥g（x）⇒sinx≥1－cosx

⇒sinx+cosx=sin（x+）≥

⇒x+∈[2kπ+，2kπ+]⇒x∈[2kπ，2kπ+]（k∈Z）

例4-52　已知函数f（x）=cosxsin（x+）－cos2x+（x∈R）。

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间[－]上的最大值和最小值。

解：（1）由已知，有

f（x）=cosx（sinx+cosx）－cos2x+

　　　=sinxcosx－cos2x+sin2x－（1+cos2x）+

　　　=sin2x－cos2x=sin（2x－）

所以f（x）的最小正周期T==π

（2）由－≤x≤，得到－≤2x≤，

－π≤2x－≤

由标准函数y=sinx在上的图像知，

当2x－=－时，f（x）取最小值－，

当2x－时，f（x）取最大值

例4-53　已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A>0），函数f（x）=·的最大值为6。

（1）求A；

（2）将函数y=f（x）的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图像，求g（x）在[0，]上的值域。

解：（1）f（x）=·Acosxsinx+cos2x

　　　　　　　 =Asin2x+cos2x=Asin（2x+），则A=6

（2）函数y=f（x）的图像向左平移个单位得到函数

y=6sin[2（x+）+]的图像，

再将所得图像各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=6sin（4x+），

当x∈[0，]时，4x+∈[]，

sin（4x+）∈[－，1]，g（x）∈[－3，6]，

故函数g（x）在[0，]上的值域为[－3，6]

例4-54　在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，其中b=6，△ABC的面积为15，其外接圆的半径为5。

（1）求sin2B的值；

（2）求△ABC的周长。

解：（1）由正弦定理得，=2R， 所以 sinB=，

又因为△ABC的面积为15，所以S=acsinB=15，

所以ac=50>b2，a、c有一个比b大，即∠B是锐角，

所以cosB=，所以sin2B=2sinBcosB=

（2）由（1）及余弦定理得，cosB=，

所以a2+c2=116，（a+c）2=216， 所以a+c=6，

所以△ABC的周长为a+b+c=6+6

例4-55　求函数f（x）=（0≤x≤2π）的值域。

解：f（x）=

先讨论当x∈[0，π]时，令t=cosx∈[－1，1]，

构造函数g（t）==－

=－=－

≤－=－

f（x）=∈[0，]

同理，当x∈（π，2π]时，f（x）=－∈[－，0）

综上，原函数的值域是[－]

例4-56　求函数y=的值域。

解：化简，得到ycosx－sinx=1－2y，

设sinφ=－，cosφ=－，

得到sin（x－φ）=1－2y，

∵|sin（x－φ）|≤1，

∴≥|1－2y|，平方整理得3y2－4y≤0

∴0≤y≤，∴函数的值域为[0，]

例4-57　求函数y=（0<x<）的最小值。

解：∵5（）≥（3sinx+4cosx）（）

=81+3sinx·+4cosx·+256

≥337+2=625　∴y=≥125

例4-58　某实验室一天的温度（单位:℃）随时间t（单位:h）的变化近似满足函数关系f（t）=10－cost－sint，t∈[0，24）

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温?

解：（1）因为f（t）=10－2（sint·+cost·）

　　　　　　　　　=10－2（sint·cos+cost·sin）

　　　　　　　　　=10－2sin（t+），

又0≤t<24，得到0≤t<2π，所以≤t+

由标准函数y=sinx在[]上的图像知，

当t+时，sin（t+）取最大值1，

当t+时，sin（t+）取最小值－1，

于是f（t）在[0，24）上取得的最大值是12，最小值是8。

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃。

（2）依题意，当f（t）>11时，实验室需要降温，

由（1）得f（t）=10－2sin（t+），

故有10－2sin（t+）>11，即sin（t+）<－。

又0≤t<24，因此≤t+，即10<t<18。

故在10时至18时实验室需要降温。