4.1　三角函数、解三角形、平面向量基础部分

4.1.1　三角函数

（1）角的概念的推广

A.任意角　在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫作正角；按顺时针方向旋转成的角叫作负角。如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角。

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={ββ=α+360°k，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和。

例4-1　在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角:

① 650°；②－150°；③－990°15’。

解：① 因为650°=360°+290°

所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角。

② 因为－150°=－360°+210°

所以－150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角。

③ 因为－990°15’=－3×360°+89°45’

所以－990°15’的角与89°45’的角终边相同，是第一象限角。

B.弧度制　我们已学习过角的度量，规定周角的为1°的角，这种用度作为单位来测量角的单位制叫作角度制。除了采用角度制外。在科学研究中还经常采用弧度制。

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad（图4-1）。用弧度作为角的单位来测量角的单位制称为弧度制。

基本关系式:

例4-2　利用弧度制证明下列关于扇形面积的公式S=ℓR，其中R是半径，ℓ是弧长，α（0<α<2π）为圆心角，S是扇形的面积。

证明:由公式ℓ=，S=，可得S=ℓR。

例4-3　把下列各角从弧度化为度:

① ；② 3.5

解：① rad=×=180°

② 3.5rad=3.5×≈200.54°

例4-4　把下列各角从度化为弧度:

① 252°；② 11°15’

解：① 252°=252×rad=rad

② 11°15’=11.25°=11.25×rad=rad

（2）任意角的三角函数

A.任意角的三角函数的定义

一般地，对任意角α，我们规定:

① 比值叫作α的正弦，记作sinα，即sinα=；

② 比值叫作α的余弦，记作cosα，即cosα=；

③ 比值（x≠0）叫作α的正切，记作tanα，即tanα=；

对于确定的角α，比值和都唯一确定，故正弦和余弦都是角α的函数。当α=+kπ（k∈Z）时，角α的终边在y轴上，故有x=0，这时tanα无意义。

B.三角函数在各象限的符号（图4-2）

C.单位圆三角函数　一般地，我们把半径为1的圆叫作单位圆。

如图4-3所示，设角α的顶点在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于M，做PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影（简称射影）。由三角函数的定义可知，点P的坐标为（cosα，sinα），即P（cosα，sinα），其中cosα=OM，sinα=ON。

这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α的终边（或其反向延长线）相交于点T（或T’），则tanα=AT（或AT’），我们把轴上向量、和（或）分别叫作α的余弦线、正弦线和正切线。

D.同角三角函数的基本关系式

例4-5　已知sinα=，且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值。

解：由sin2α+cos2α=1，得cosα=±

因为α是第二象限的角，cosα<0，所以

cosα=－=－，tanα==－

例4-6　化简。

解：原式==cosα

例4-7　求证tan2α－sin2α=tan2αsin2α

证明:原式右边=tan2α（1－cos2α）=tan2α－tan2αcos2α

　　　　 　　=tan2α－cos2α=tan2α－sin2α=左边

因此，原等式成立。

（3）诱导公式（表4-1）

（4）三角函数的图像与性质（表4-2）

（5）对y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的研究

①振幅:A；②周期:T=；③频率:f=；④相位:ωx+φ；⑤初相:φ。

（6）已知三角函数值求角　一般地，对于正弦函数y=sinx，如果已知函数值y（y∈[－1，1]），那么在[－]上有唯一的x值和它对应，我们可以记为

x=arcsiny（其中－1≤y≤1，－≤x≤），即arcsiny（|y|≤1）表示[－]上正弦等于y的那个角。

同理，在区间[0，π]上符合条件cosx=y（－1≤y≤1）的角x，记为x=arccosy。