2.3　集合的重要公式和常考知识

① 含n个元素的集合的子集数为2n， 真子集数为2n－1；

非空真子集的数为2n－2。

② 我们约定，用大写英语字母表示常用的一些数集:

全体非负整数构成的集合，叫作自然数集，记作N；

在自然数集内排除0的集合叫作正整数集，记作N+或N*；

整数全体构成的集合，叫作整数集，记作Z；

有理数全体构成的集合，叫作有理数集，记作Q；

全体实数构成的集合，叫作实数集，记作R。

③ A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B

④ 补集的运算性质

∁U（∁UA）=A，∁U∅=U，A∩∁UA=∅，

∁UU=∅，A∪∁UA=U。

⑤ 结合律

A∩（B∩C）=（A∩B）∩C，A∪（B∪C）=（A∪B）∪C

⑥ 分配律

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

⑦ 德·摩根定律

∁U（A∪B）=（∁UA）∩（∁UB），∁U（A∩B）=（∁UA）∪（∁UB）

⑧ card（集合中元素的个数）

card（A∪B）=card（A）+card（B）－card（A∩B）

证明:设n为集合中元素的个数（图2-8）。

card（A∪B）=n1+n2+n3

card（A）+card（B）－card（A∩B）

=n1+n2+n3+n2－n2=n1+n2+n3

得证。

例:求证card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（C∩A）+card（A∩B∩C）

证明:如图2-9所示，

card（A∪B∪C）=n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7

card（A）+card（B）+card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（C∩A）+card（A∩B∩C）

=（n1+n2+n3+n4）+（n2+n3+n5+n6）+（n3+n4+n6+n7）－（n2+n3）－（n3+n6）－（n3+n4）+n3

=n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7

得证。