2.4.4　信号重构

低维观测值包含了原信号的所有信息，但是已消除了原信号在变换域的特征，呈现类噪声特性，如图2-12所示。在使用信号时，还需要通过一定重构手段还原出原始信号。

图2-12　压缩感知的信号观测及结果示意

信号重构需要根据观测值y和压缩测量矩阵Φ求出原信号x。若信号x在稀疏基ψ∈ℝN×N下是K稀疏的，s是其对应的稀疏表示，则感知矩阵为Ω=Φψ∈ℝM×N，有

y=Φψs=Ωs

（2-20）

对于式（2-20），可以利用l₀范数约束s的稀疏性来将重构问题转化为稀疏表示的估计问题：

已有理论研究指出，若感知矩阵Ω满足等距约束性条件且δ_2K<1，则式（2-21）的K稀疏解是唯一的。若考虑测量过程中的噪声e，则式（2-21）变为

y=Φψs+e=Ωs+e

（2-22）

此时，信号的重构问题通过求解如下方程解决：

由式（2-23）可知，该问题即为原子选择问题，可以采用前述介绍的MP、OMP等算法求解。

已有理论研究指出，若观测矩阵Φ和稀疏基Ψ不相关，则求解l₁范数优化问题可以得到与l₀范数约束相同的解，这个结论从理论上保证了采用l₁范数约束进行重构的合理性。同时，基于l_p范数稀疏约束的重构方法具备更好的抗噪特性，因此在实用压缩感知系统中，广泛采用基于l_p范数稀疏约束的重构方法。

图2-13　噪声条件下鲁棒重构的几何示意

可以采用l₁范数来帮助理解（如图2-13所示）：解矢量对应直线为y=Φx，在带噪情况下，由‖y-Φx‖₂<ε的约束，超平面旋转成为以解矢量为轴心的圆柱体。该圆柱体与范数张成的曲面相切后，交点的位置由一个点变为一个区域，该区域同时包含了无噪声干扰时的最优解。从另一个角度，可以理解为带噪时的最优解被限制在无噪最优解附近的一小块区域中。因此，最终得到的解矢量与精确解是非常接近的，这就保证了重构的鲁棒性。文献［26］已证明，在观测值受到污染时，重构信号误差与噪声能量呈线性关系，即