2.3.1　基本概念

在正交变换中，信号可以采用正交基表示。这些正交基实际上是一些标准信号形式，可以认为它们形成了一个能够准确表示信号空间中所有信号的字典。就像通过字典可以找到所有词汇一样，也可以通过“信号字典”来查明任意信号。

稀疏表示中引入了字典这个概念。假设信号y∈ℝN具有表示y=Dx，其中D∈ℝN×N，x∈ℝN是稀疏的，则可称D是表示字典（简称“字典”），x是在字典D中信号y的表示系数。D中的元素d_i=（d_1i，…，d_Ni）T称为原子。

从数学的角度看，一个原子就是一个表示矢量，字典是由这样的多个矢量构成的矩阵。若这N个N维原子相互正交，能够组合生成N维空间，则通常称为完备字典，也就是说这个字典中的原子都相互独立，无法再增加新的原子了。FFT矩阵、DCT矩阵都可以认为属于这类完备字典。这种字典的原子实际上都是变换空间中的正交基。

在信号的稀疏建模（稀疏表示）中，除了这种完备字典外，还可以构造其他类型的字典。比如，可以设计一个字典D∈ℝN×M，M>N，此时有y=Dx，x∈ℝM是稀疏的。D的行数小于列数，即原子的维数低于字典中原子的个数。这种字典称为冗余字典，因为这种字典中包含了过多的列来表示信号，存在冗余。如果冗余字典中的各原子能够保证生成N维空间，该字典就是一个过完备字典。

图2-5所示是一个N=2的例子。对于同一个信号，在两个不同的字典D₁和D₂下可以有不同的表示方法。其中，D₁是Hadamard矩阵，这是一个二维正交完备字典，D₂是冗余字典（具有扁平的形状特点，有时也称为“扁胖”矩阵）。可以看出，针对同一个信号y=［3　2］T，在字典D₂中可以得到稀疏表示x=［5　0　0　-2］T。

图2-5　二维信号表示的示例