试论数学推理过程的逻辑性：兼论什么是有逻辑的推理^注44

正在修订的《普通高中数学课程标准》一个突出的特点是强调数学核心素养，至今为止提出6个数学核心素养，其中一个是逻辑推理，把内涵和外延表述为：

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

事实上，数学教育、甚至逻辑学面临一个尴尬的局面，一方面，人们确信数学的推理是有逻辑的，另一方面，人们又很难用简单的语言、一般性地表述清楚为什么数学的推理是有逻辑的。这是因为，很难用简单的语言、一般性地表述清楚什么样的推理是有逻辑的。这里试图把这个问题讨论清楚，试图用简洁的数学语言和符号表述清楚数学推理的形式，更确切地说，表述清楚前文所说的逻辑推理依据的规则是什么。虽然对于这个问题进行了长时间的缜密思考，但仍然会有一些表述不确切、甚至不正确的地方，欢迎批评指正。

研究局限在数学范围讨论，因为一般的情况实在是太复杂。但是，因为数学的推理是逻辑推理中最重要的内容，因此研究结论对于更为一般性的逻辑推理的讨论是具有借鉴意义的。无论如何，把这个问题讨论清楚，不仅对于数学教育的发展、乃至对于逻辑学的发展都是重要的。

讨论中将不时地引入一些古代中国哲人的有关论述，这不仅仅是为了弘扬中国传统文化，更重要的原因是，作为后代子孙有责任研究清楚、并且表达清楚祖先的思维形式，以及这些思维形式对当代思维的影响。

推理的对象是命题，命题中隐含着研究对象的定义，因此在具体讨论之前，有必要从功能上认识清楚定义、命题、推理之间的关系。对此，《墨经·小取》中有一段言简意赅，但含义明确、寓意深刻的论述：“以名举实，以辞抒意，以说出故。”用现代语言把这段文字表述如下^注45：

通过定义（名）明确讨论问题的对象（实），通过命题（辞）表述讨论问题的实质（意），通过论证（说）得到讨论问题的缘由（故）。

可以这样理解上述内容。“以名举实”的含义是：定义（名）是对象（实）的抽象，可以通过举例来说明（举），这些抽象了的定义构成了研究的对象；“以辞抒意”的含义是：定义本身并没有表述研究对象的实质（意），研究对象的实质是通过命题（辞）表述的^注46。“以说出故”的含义是：命题所表述的东西不一定就是正确的，其中的道理（故）是需要论证（说）的。

可以看到，古代中国先哲、至少是有些先哲对定义和命题的功能、以及推理与这二者之间关系的理解是相当深刻的。下面，分别讨论数学定义、数学命题、数学推理及其相关内容。