第二编 数学推理

第一章 空间的相对性

I

要想象空虚空间是不可能的；我们设想把物质客体的变化图像从中排除出去的纯粹空间的一切努力，只能导致例如用浅色的线代替深色的面这样的描述，在不使一切化为乌有和不以子虚终结的情况下，我们便不能沿着他的道路走到底。空间不可简约的相对性即由此而来。

无论谁谈到绝对空间，用的都是无意义的词语。这是深思该问题的人早就宣布的真理，但是我们却过于经常地被诱使忘记它。

我处在巴黎的一个确定的地点，例如在先贤祠，我说：我明天将再来这里。如果有人问我：你意味着你将返回到空间的同一点吗？我将被诱导回答：是的；可是，我却错了，因为到明天，地球携带着先贤祠将由此运行了一天的路程，它要超过200万公里。假如我企图讲得更精确一些的话，也不会增加什么东西了，由于我们地球运行的这200多万公里是相对于太阳的运动，而太阳本身又相对于银河系移动，同时银河系本身无疑也处于运动之中，虽然我们不能觉察它的速度。这样一来，我们完全不知道先贤祠一天走了多少路程，而且总是无法知道。

总而言之，我的意思是说：明天我将再次看到先贤祠的圆顶和三角饰，而如果先贤祠不存在，我的话便毫无意义，空间也会消失。

这是空间相对性原理最平凡的形式之一：但是，还有另外的形式，德尔伯弗（Delbeuf）尤为坚决主张这种形式。设在某夜，宇宙的所有尺度变大了一千倍：该世界将依然相似于它本身，给予相似这个词的意义与欧几里得第VI卷内所讲的相同。只是一米长从那时起将度量为一公里，一毫米长将变成一米。我所睡的床和我的身体本身将按同一比例扩大了。

当我第二天早晨醒来时，面对这样一种令人惊奇的变化，我会有什么感觉呢？咳，我根本觉察不到什么。最精密的测量一点也不能向我揭示出这一巨大的灾变，因为我所用的量尺与我企图测量的对象将严格按照同一比例变化。实际上，只是对于空间仿佛是绝对的那样推理的人来说，这种灾变才是存在的。如果我暂且像他们那样推理，那么就可以比较充分地显示出他们看问题的方式隐含着矛盾。事实上，可以比较恰当地说，由于空间是相对的，根本没有发生什么情况，这就是我们什么也觉察不到的原由。

因此，人们有权利说他知道两点之间的距离吗？没有权利这样说，由于这个距离经受了极大的变化，倘若其他距离按同一比例变化，那么我们就无法察觉它们。我们刚刚看到，当我说我明天将在这里时，这并不意味着我明天将处于我今天所在的空间的同一点，而是说明天我距先贤祠的距离与今天的相同。而且，我们看到，这种陈述不再是充分的，我应该说，明天和今天我距先贤祠的距离等于我身体高度的同一倍数。

可是，这并非问题的全部；我假定世界的尺度变化着，但至少世界依然总是相似于它本身。我们应当更进一步，现代物理学最使人惊讶的理论之一向我们提供了机会。

按照洛伦兹（Lorentz）和斐兹杰惹（Fitzgerald）的观点，所有随地球运动的物体都经受形变。

实际上，这种形变是十分微小的，由于所有平行于地球运动的尺度仅减小亿分之一，而垂直于这一运动的尺度并没有变化。不过，它微小没有什么关系，它的存在对于我正要引出的结论来说已足够了。此外，我说过它是微小的，但是实际上，我对它一无所知；我自己是顽固的幻觉的受骗者，这种幻觉使我们相信我们拥有绝对空间；我设想地球沿着它的椭圆轨道绕太阳运动，我认为它的速度是30公里。可是，我并不知道它的真实速度（这时，我不是意指它的绝对速度，而是它相对于以太的速度，绝对速度是没有意义的），而且我也没有办法知道它：它也许要大10倍、100倍，从而变形也将要大100倍、10 000倍。

我们能够证明这种形变吗？显然不能；这里有一个棱长为一米的立方体；由于地球运动，它发生了形变，平行于地球运动的棱变小了，其他棱没有变化。如果我想用米尺确切地测量它，那么我将首先测量垂直于运动的一个棱，我将发现我的标准米尺与这个棱精确相符；事实上，这两个长度无论哪一个也没有变化，因为二者都垂直于运动。然后，我希望测量其他平行于运动的棱；为了做到这一点，我移动我的米尺，并转动它使与该棱相合。但是，由于米尺改变了方向，变得平行于运动了，因而米尺本身也经受了形变，这样一来，尽管棱不是一米长，但它还是与米尺精确相符，我将一点也发现不了什么东西。

你接着问我，如果实验不容许证实洛伦兹和斐兹杰惹假设，那么这个假设有什么用处呢？我的讲解是不完备的；我只是谈到了能够用米尺进行的测量；但是，在假定光速不变和与方向无关的条件下，我们也能够用光传播一段长度所花费的时间来测量长度。洛伦兹可以通过假定在地球运动方向上的光速比在垂直方向上的光速为大，来解释这些事实。但他却宁可假定，光速在这些不同的方向上是相同的，而物体在一个方向比在另一个方向较小。假如光的波面像实物物体那样经受相同的形变，那么我们永远也察觉不到洛伦兹-斐兹杰惹收缩。

无论在哪一种情况下，都不是绝对数量的问题，而是借助某种手段测量这一数量的问题；这种手段可以是米尺，或者是光传播的路程；我们测量的只不过是该数量与测量手段的关系；如果这个关系改变了，我们便无法知道，究竟是这一数量变了呢，还是测量手段变了呢。

但是，我希望阐明的是，在这种形变中，世界并不与它本身相似；正方形变成长方形，圆变成椭圆，球变成椭球。可是，我们还是无法知道，这种形变是否是真实的。

显而易见，我们可以更进一步：我们可以设想无论什么样的形变，以代替其规律特别简单的洛伦兹-斐兹杰惹形变。物体可以按照我们所希望的任何复杂的规律变形，倘若一切物体都毫无例外地按照同一规律变形，我们便永远不会觉察到这些变形。在说一切物体都毫无例外时，我当然包括我自身以及从不同物体发出的光线。

如果我们观察一个具有复杂形状的镜中的世界，这个镜子以千奇百怪的方式使对象发生形变，但是这个世界各个部分的相互关系不会改变；事实上，如果两个真实的对象接触，它们的影像看起来同样是接触在一起的。当然，当我们观看这个镜中的世界时，我们的确看到它发生了形变，但是这正是因为实在的世界继续在它的变形了的影像旁边存在着；即使这个实在的世界对我们隐而不现，但总会有某些事物无法隐藏，我们自身就是这样；我们没有停止观看，至少没有停止感觉，我们的身体和四肢没有变形，它们继续作为测量手段为我们所用。

但是，如果我们设想，我们身体本身像我们在镜中看到的对象一样按同一方式变形了，那么这些测量手段本身将会使我们失望，形变就再也不能查明了。

用同一方式考虑两个互为影像的世界；对于A世界的每一个对象P，在B世界中都有一个物体P'作为它的影像与之对应；这个影像P'的坐标由对象P的坐标的函数决定；而且，这些函数可以是无论什么东西；我只假定它们一劳永逸地选定了。在P的位置和P'的位置之间，存在着恒定的关系；至于这种关系是什么，则无关紧要；尽管它是恒定的。

好了，这两个世界相互之间将是无法区分的。我的意思是，第一个世界对于它的居民来说与第二个世界对于它的居民来说相同。只要这两个世界彼此之间依然是陌生的，情况就将如此。设我们生活在世界A，我们将构造我们的科学，尤其是我们的几何学；在这个时候，世界B的居民也将构造科学，因为他们的世界是我们的世界的影像，他们的几何学也将是我们的几何学的影像，或者更确切地讲，它将是相同的。但是，在我们看来，如果有一天窗户向世界B打开了，我们将多么怜悯他们，我们将说：“可怜的家伙，他们自以为他们创造了几何学，可是他们这样称呼的几何学只是我们的几何学的奇形怪状的影像；他们的直线全都弯弯曲曲，他们的圆歪歪扭扭，他们的球凹凸不平。”我们将从来也不怀疑，他们说与我们相同的话，人们永远也无法知道谁是正确的。

我们看到，应该在多么广泛的意义上来理解空间的相对性；空间实际上是无定形的，唯有处于其中的物才给它一种形式。那么，应该如何想像我们对于直线或距离所具有的直接的直觉呢？我们对于距离本身没有什么直觉，正如我们所说的，以致在夜晚，距离变大了一千倍，倘若其他距离也经受了同样的变化，我们便无法觉察它。即使在夜晚世界B代替了世界A，我们也没有任何办法知道它，此外昨天的直线已不是直线了，我们永远也不会注意到。

空间的一部分并不自然而然地且在该词的绝对意义上与空间的另一部分相等；因为即便它对我们来说如此，但对世界B的居民来说却不相等；这些居民有权利排斥我们的观点，正如我们有那么多的权利抛弃他们的观点一样。

我已在其他地方表明，从我们可以形成非欧几何学和其他类似的几何学的见解的观点来看，这些事实的推论是什么；我不愿再回到这个问题上；现在我将采取稍微不同的观点。