指数的魔力

如果一个量按照它当前数量的固定比例增长，这类增长方式就叫作指数增长。想象一下，在某个清晨你打开了一瓶牛奶，一个单细胞粪链球菌在你盖上瓶盖之前掉进了瓶子里。粪链球菌是导致牛奶变味和凝结的罪魁祸首，但现在只有一个细胞，应该不会造成什么影响吧？当你知道粪链球菌每小时能分裂出两个子细胞的时候，或许会不太淡定了。新一代细胞的数量会以当前细胞数量的某个固定比例增长，因此粪链球菌菌落的数量增长是指数级的。

图1-1 J型指数增长曲线（左）和J型指数下降曲线（右）

描绘指数增长的曲线容易让人联想到轮滑运动员、滑板运动员和自由式小轮车运动员使用的1/4管坡道。刚开始坡度非常平缓，曲线很浅而且高度上升得很缓慢（正如你在图1–1中看到的第一条曲线那样）。两个小时后，牛奶瓶里会有4个粪链球菌细胞。4个小时后，将有16个，好像也不会造成什么大的影响。但就像1/4管坡道一样，指数曲线的高度和陡峭程度都是快速增长的。以指数形式增长的量刚开始都增长得十分缓慢，但它们随后会以不可思议的速度迅速增长。如果你把牛奶放在室温中48个小时，这段时间粪链球菌细胞的指数增长一直在持续，等到你再次打开瓶盖的时候，牛奶瓶里已经有近千兆个粪链球菌细胞了，这足以让你的血液凝结，更别说牛奶了。这个数量是我们这个星球上的人口数量的40 000倍。指数曲线通常也叫作J形曲线，因为它的形状很像J。当细菌耗尽了牛奶中的营养物质并且改变了它的PH值时，增长将难以为继，因此指数增长只能持续较短的时间。事实上，在几乎每个现实世界的场景中，长期的指数增长都是不可持续的，并且在很多情况下是病态的，因为增长主体要以无法承受的方式消耗资源。比如，人体内细胞的持续指数增长是癌症的典型特征。

另一个指数曲线的例子是自由落体滑水，之所以叫这个名字，是因为滑梯太陡峭，滑水者开始时的感觉就像在做自由落体运动。这种情况下，向下滑落的轨迹曲线不再呈指数增长趋势，而是呈指数下降趋势（图1–1的第二幅图就是指数下降的例子）。当某个量以与它目前的数量成比例的速度下降的时候，我们就称其为指数下降。打开一大包M&M巧克力豆，把它们全倒在桌子上，然后吃掉所有M面朝上的巧克力豆，把剩下的放回袋子里，留第二天吃。第二天把巧克力豆摇匀后再重复前一天的操作。每一次把巧克力豆倒出来后，你都会吃掉当前巧克力豆的大约一半，所以每次装回袋子里的量也就约为一半，这会导致巧克力豆的数量呈指数下降趋势。与此类似，呈指数下降的滑道刚开始几乎是垂直于地面的，因此滑水者的高度下降得非常快；在巧克力豆的情形中，如果我们当前拥有的巧克力豆越多，我们吃下去的自然就多。越往下走，滑道的坡度就越小，到最后几乎和地面平行；如果我们只剩下一点儿巧克力豆了，我们吃下去的自然就少了。尽管巧克力豆的M面朝上还是朝下是随机和无法预测的，但随着时间的推移，巧克力豆的剩余数量会呈现出和滑道曲线相似的指数下降特征。

在本章中，我们将揭示指数行为与日常现象之间的隐秘联系：疾病在人群中的传播，互联网的流行文化，胚胎的快速生长，银行存款的缓慢增长，我们感知时间流逝的方式，核武器的爆炸原理，等等。随着理解的深入，我们将仔细挖掘“给与拿”金字塔模式的内在崩溃逻辑。那些事件受害者的经验教训告诉我们指数思维是多么重要，这反过来又将帮助我们对现代世界的快速变化做出预判。