3.1 射影几何与几何变换

射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。机器视觉中常涉及欧式几何（Euclidean Geometry）、仿射几何（Affine Geometry）、射影几何（Projective Geometry）和微分几何（Differential Geometry）。

常用的空间几何变换有刚体变换、空间相似变换（含平移、旋转、相似变换）、仿射变换、投影变换（也叫透视变换）与非线性变换等。其中仿射变换为射影变换的特例，在射影几何中已证明，如果射影变换使无穷点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换。经仿射变换后，线段间保持其平行性，但不保持垂直性。平面仿射变换的实质是平面与平面之间的平行投影。平面透视变换的实质是平面与平面之间的中心投影。

射影变换保持直线、直线与点的接合性及直线上点列的交比不变。仿射变换除具有以上不变性外，还能保持直线与直线的平行性、直线上点列的简比不变。欧式变换除具有仿射的不变性外，还能保持两条相交直线的夹角和任意两点的距离不变。

3.1.1 空间几何变换

1. 二维变换

1）平移变换：二维平移可以写成x′=x+t或者

或者

式中，I是2×2的单位矩阵，x为二维向量，t为二维平移向量，0是零向量。

2）旋转+平移：该变换也称为二维刚体运动或二维欧式变换，θ为旋转角，t为平移向量，则变换关系可以写成

式中

R是一个正交旋转矩阵，有

R^TR=1，‖R‖=1

3）缩放平移：也叫相似变换，该变换可以表示为

或者

相似变换能保持直线间的夹角不变。

4）仿射变换：仿射变换可以表示为

式中，A是2×3矩阵，即

仿射变换后平行线将保持平行性。

5）投影变换：也叫透视变换或同态变换，作用在齐次坐标上，变换公式为

式中，是一个任意的3×3矩阵，是齐次的，即它只在相差一个尺度量的情况下是已定义的，而仅尺度量不同的两个是等同的。要想获得非齐次结果，得到的齐次坐标必须经过规范化，即

和

式中，（x，y）为变换前坐标，（x′，y′）为变换后的坐标。

由于变换是齐次的，同一个投影变换矩阵可以相差一个非零常数因子，因此投影变换仅有8个自由度，直线在投影变换后仍然是直线。图3-1为图像二维变换的效果。

2. 三维变换

1）平移：三维平移可以写为x′=x+t_3D或者

式中，I_3D是3×3的单位矩阵，t_3D为三维向量。

2）旋转+平移：该变换也称为三维刚体运动，即三维欧式变换，可以写成

式中，R_3D是一个3×3的正交矩阵，有和‖R_3D‖=1。

3）缩放旋转：该变换可以表示为

它能够保持直线和平面间的夹角。

4）仿射变换：仿射变换可以表示为

式中A_3D是3×4矩阵，即

仿射变换后原来的平行线和平行面会保持平行性。

5）投影变换：也叫三维透视变换或同态映射，作用在齐次坐标上，表示为

式中，是一个任意的4×4齐次矩阵。与二维投影变换相同，要想获得非齐次结果，得到的齐次坐标就必须经过规范化。由于变换是齐次的，射影变换可以相差一个非零常数因子，因此三维投影变换有15个自由度。直线在投影变换后仍然是直线。

3.1.2 三维到二维投影

在计算机视觉与计算机图形学中，最常用的是三维透视投影，如图3-2所示。投影变换将三维空间坐标中的点映射到二维平面中，即空间中点的三维信息投影后变成图像亮度信息，丢失了图像的三维信息，投影后就不可能恢复该点到图像的距离了，因此二维传感器没有办法测量到表面点的距离。

图3-2中点P（x，y，z）与成像平面上的对应点p（x_p，y_p，z_p）在深度方向的大小分别为d和z。根据相似三角形，在图3-2中有

以及

进一步可以得到三维空间中点P（x，y，z）与成像平面上对应点p（x_p，y_p，z_p）对应关系为

当d为相机焦距时，有

因而有

式中，为投影矩阵。

以上分析基于理想条件，即光学中心在像平面坐标原点，相机没有旋转和平移。如果光学中心位于像平面中心（u₀，v₀）的位置且传感器轴间倾斜s，则M矩阵被修正为如下形式：

式中，α和β为归一化焦距。

如果相机与世界坐标系有旋转和平移，则

式中，为旋转和平移组合而成的矩阵。