电路基础与实践(第3版)
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2.6 叠加定理、齐性定理与替代定理

2.6 叠加定理

2.6.1 叠加定理

1.叠加定理的内容

叠加定理是线性电路中一条十分重要的定理。本节所涉及的线性电路是由线性电阻元件、独立电源和线性受控源构成的电路。叠加定理可表述如下:在任何由线性电阻元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中,每一支路的响应(电压或电流)都可以被看成是各个独立电源单独作用(其他电源不作用)时,在该支路中产生响应的代数和。下面以图2-27为例来说明叠加定理的本质,叠加定理分析用图如图2-27所示。

图2-27 叠加定理分析用图

a)两个独立源共同作用 b)电压源单独作用 c)电流源单独作用

图2-27a所示电路表示两个独立源共同作用,图2-27b表示由电压源单独作用产生响应I′,图2-27c表示由电流源单独作用产生响应I″。根据图2-27所示电路,推导出如下关系式

可以根据电阻串、并联等效变换方法计算这个电路,得到同样的结论。

可见,电阻R2上的电流是两个独立电源分别作用在R2上产生的电流响应的叠加。不仅本例具有响应与激励之间关系的这种规律,而且对任何具有唯一解的线性电路都具有这种特性。它具有普遍意义。

2.使用叠加定理的几个具体问题

(1)去除电源的处理

当求某一独立电源单独作用在某处产生的响应分量时,应去除其余独立电源。将电压源去除是将其短接,即将电源二端短接,使得其间电压为零;将电流源去除是将其开路,即将电源两端断开,使它不能向外电路提供电流。也就是说,去除电源意味着将该电源的参数置零。

(2)“代数和”中正、负号的确定

在应用叠加定理时,要注意,当各电源单独作用时,电路各处电流、电压的参考方向与原电路各电源共同作用时各处所对应的电流、电压的参考方向一致。

(3)叠加定理的适用性

1)该定理只适用于线性电路。

2)作为激励源,即独立电源一次函数的响应电压、电流可叠加,但功率是电压或电流的平方,是激励源的二次函数,不可叠加。

3)叠加时只对独立电源产生的响应叠加,受控源在每个独立电源单独作用时都应在相应的电路中被保留;电路中的所有电阻(包括电源内阻)均应被保留。

下面通过例题来理解叠加定理。

【例2-16】 在图2-28所示电路中,已知US=21V,IS=14A,R1=8Ω,R2=6Ω,R3=4Ω,R=3Ω。用叠加定理求R两端的电压U

图2-28 例2-16图

:将IS开路去掉,使US单独作用,如图2-28b所示,求U′。由分压公式可得

US短路,IS单独作用,如图2-28c所示,求U″。由分流公式有

U″=RI″=(3×5.33)V=16V

最后叠加,得

U=U′+U″=(9+16)V=25V

【例2-17】 在图2-29a所示电路中,试用叠加定理求4V电压源发出的功率。

图2-29 例2-17图

:功率不可叠加,但可用叠加定理求4V电压源支路的电流I,再由I求电压源的功率。3V电压源单独作用的电路如图2-29b所示,由此电路可得

4V电压源单独作用的电路如图2-29c所示,由此电路得

由叠加定理,可得两电源共同作用时

I=I′+I″=(-3+6)A=3A

故4V电压源发出的功率为

p=4V×3A=12W

2.6.2 齐性定理

齐性定理是线性电路的另一个重要性质,可由叠加定理推出,它描述了线性电路的比例特性。齐性定理的内容是:在线性电路中,若某一独立电源(独立电压源或独立电流源)同时扩大或缩小K倍(K为常实数)时,则该独立电源单独作用所产生的响应分量亦扩大或缩小K倍,也有人把“齐性定理”归纳为“齐次定理”。

【例2-18】 在图2-30所示电路中,求各支路电流。

图2-30 例2-18图

分析:由线性电路的齐次性,当一个独立电压扩大或缩小K倍时,它所产生的响应分量也扩大或缩小K倍。本题只有一个独立电源作用,因此,可设=1A,求出相应的,由,再计算每一支路电流。

:设=1A,则

从而

由齐性定理得

此题的求解办法亦称为单元电流法或倒推法。

2.6.3 替代定理

替代定理也称为置换定理,是集总参数电路理论中的一个重要的定理。从理论上讲,无论线性、非线性、时变、时不变电路,替代定理都是成立的。不过在线性时不变电路问题分析中,应用替代定理更加普遍,这里着重介绍在这类电路问题分析中的应用。替代定理可表述如下:在任一电路中,第k条支路的电压和电流为已知的UkIk,则不管该支路原为什么元器件,总可以用以下3个元器件中任一个元器件替代,替代前后电路各处电流、电压不变。这3个元器件分别是:

1)电压值为Uk且方向与原支路电压方向一致的理想电压源。

2)电流值为Ik且方向与原支路电流方向一致的理想电流源。

3)电阻值为R=Uk/Ik的电阻元件。

为了清楚起见,下面通过一个具体例子(例2-19)来验证替代定理的正确性。

【例2-19】 在图2-31a所示电路中,试计算各支路电流及ab支路电压。

图2-31 例2-19图

:先用节点法来求解电路,列出a节点方程,得

Uab=U1=4V

设各支路电流为I1I2I3,由图可见I1=8A,由欧姆定律得I2=4A,再由KCL得

I3=I1-I2=(8-4)A=4A

这些结果的正确性是毋庸置疑的。下面分3种情况进行分析。

1)将ab支路(视为替代定理表述中的k支路)用4V理想电压源替代,如图2-31b所示,并设各支路电流为I1I2I3。由图可见,Uab=4V,I1=8A,I2=4A,I3=I1-I2=(8-4)A=4A。

2)ab支路用4A理想电流源替代,如图2-31c所示,并设各支路电流为I1I2I3。由图可见,I1=8A,I3=4A,I2=I1-I3=(8-4)A=4A,Uab=4V。

3)ab支路用电阻Rab=Uab/I3=(4/4)Ω=1Ω来替代,如图2-31d所示,并设各支路电流为I1I2I3。由图可见,I1=8A,I2=I3=(0.5×8)A=4A,Uab=1×I2=(1×4)V=4V。

此例说明了在这3种情况替代后的电路中,计算出的各支路电流I1I2I3Uab与替代以前的原图2-31a所示电路经节点法计算出的结果完全相同,验证了替代定理的正确性。

事实上,替代定理就是电路等效变换。在分析电路时,常常用它化简电路,辅助其他方法来求解。在新定理的推导、等效变换时也常用到它。在实际工程测试电路或试验设备中,采用假负载(或称为模拟负载)的理论依据就是替代定理。下面再举例说明替代定理在电路分析中的应用。

【例2-20】 对图2-32a所示电路,求电流I1

:这个电路初看起来比较复杂,但如果将短路线压缩,ab就合并为一点,3Ω与6Ω电阻并联等效为一个2Ω电阻,如图2-32b所示。再把图2-32b中的点画线框起来的部分看作为一个支路k,且知这个支路的电流为4A(由图2-32b中下方4A理想电流源限定),应用替代定理,把支路k用4A理想电流源替代,如图2-32c所示,再应用电源互换将图2-32c等效为图2-32d,即可解得

图2-32 例2-20图

这里为把问题说得更清楚,画出的等效过程图较多。在实际解题时,并不需要画出每一步等效图。本题可直接画出图2-32d即可。可以看出,本题应用替代定理比直接用节点法、网孔法列方程求解要简单得多。