命题

命题1

在一个已知的有限直线上作一个等边三角形。

设：AB是已知的有限直线。

要求：在线段AB上作一个等边三角形。

以A为圆心，再将AB作为半径来画圆BCD。[公设3]

以B为圆心，再将BA作为半径来画圆ACE。[公设3]

从两个圆的交点C到A、B，连接线段CA、CB。[公设1]

因为：点A是圆CDB的圆心，因此AC等于AB，[定义15]

又因：点B是圆CAE的圆心，因此BC等于BA，[定义15]

并且之前证明了CA等于AB，因而线段CA、CB都等于AB。且等于同量的量相等，[公理1]

所以：CA等于CB，

所以：三条线段CA、AB、BC均相等，

所以：三角形ABC是等边三角形，也就是在已经给出的有限直线AB上作了等边三角形。

这就是命题所要求作的。

命题2

将一个已知的点（当作端点），作一条线段等于已知的线段。

设：A是已知的点，BC则是已知线段，也就是，需要由点A作为端点，作一个等于已知的线段BC。

要求：从点A到点B连接线段AB，[公设1]

并且在AB上作等边三角形DAB，[I. 1]

再延长DA、DB为直线AE、BF，[公设2]

以B为圆心，将BC作为半径画圆CGH，[公设3]

之后再以D为圆心，以DG为半径画圆GKL。[公设3]

因为：点B是圆CGH的圆心，所以BC等于BG，[定义15]

点D是圆GKL的圆心，所以DL等于DG，[定义15]

又因：DA等于DB，因此剩下的余量AL也就等于余量BG，[公理3]

并且已经证明了BC等于BG，因此线段AL、BC都等于BG，并且因为等于同量的量彼此相等，[公理1]

所以：AL也就等于BC，

所以：从已知的点A作的线段AL等于已知线段BC。

这就是命题所要求作的。

命题3

已知两条不相等的线段，从较长的线段上边截取一条线段，让它等于另外一条线段。

设：AB、c是两条不相等的线段，并且AB大于c。

要求：从较长的线段AB上，截取一条线段，让它等于较短的线段c。

从点A截取AD，让它等于线段c，[I. 2]

将A作为圆心，以AD为半径画出圆DEF，[公设3]

因为：点A是圆DEF的圆心，因此AE等于AD，[定义15]

又因：c等于AD，因此线段AE、c都等于AD；由此推断出，AE等于c，[公理1]

所以：给定两条线段AB、c，从较长的AB上截取AE，让它等于较短的线段c。

这就是命题所要求作的。

命题4

如果两个三角形的两边分别相等，并且相等的线段组成的夹角相等，就可以说这两个三角形的底边相等，三角形全等于三角形。因此，其余的两对应角亦相等。

设：ABC、DEF是两个三角形，AB等于DE，AC等于DF，并且角BAC等于角EDF。

因为：底边BC等于底边EF，三角形ABC全等于三角形DEF，剩下的角也分别相等，即角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE，

若将三角形ABC移动到三角形DEF上，如果点A落在点D上，并且线段AB落在DE上，已知AB等于DE，因此点B与点E重合，

又因：AB与DE重合，角BAC等于角EDF，因此线段AC也就与DF重合，

并且AC等于DF，因此点C也与点F重合，

又因：B也与E重合，所以底BC也与底EF重合，

假定：在B与E重合，并且C与F也重合时，底BC若是不和底EF重合，那么二条直线就围成了一块空间，但这是不可能的。因此底BC就与底EF重合并相等，[公理4]

所以：整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，因此它们是全等的，

所以：其余的角也与其余的角重合，所以它们全都相等，也就是角ABC等于角DEF，并且角ACB等于角DFE。

这就是命题所要求证明的。

命题5

等腰三角形的两个底角相等，如果向下延长两个腰所在的直线，那么在底边形成的两个角亦相等。

设：ABC是一个等腰三角形，边AB等于边AC，延长AB、AC成直线BD、CE。[公设2]

求证：角ABC等于角ACB，并且角CBD等于角BCE。

如果从BD上任取一点F，又在较大的AE上截取线段AG，让它等于较小的AF。[I. 3]

连接FC和GB。[公设1]

因为：AF等于AG，且AB等于AC，两边FA、AC分别等于边GA、AB，并且它们包含着公共角FAG，

所以：底FC等于底GB，且三角形AFC全等于三角形AGB，

所以：剩下的角也分别相等，也就是相等的边所对的角，即角ACF等于角ABG，角AFC等于角AGB。[I. 4]

因为：整体AF等于整体AG，并且它们中的AB等于AC，因此余量BF等于余量CG，[公理3]

又因：已经证明了FC等于GB，因此，边BF等于CG，边FC等于GB，而角BFC等于角CGB，

并且底BC是公用的，因此，三角形BFC也全等于三角形CGB；并且，剩下的角也分别相等，也就是等边所对的角，

因此：角FBC等于角GCB，并且角BCF等于角CBG。

因为：已经证明了角ABG等于角ACF，而角CBG等于角BCF，剩下的角ABC等于剩下的角ACB，[公理3]

而它们都在三角形ABC的底边以上，

所以：角FBC等于角GCB，并且它们都在三角形的底边以下。

证完。

命题6

如果在一个三角形中，有两个角彼此相等，那么等角所对的边也彼此相等。

设：在三角形ABC中，角ABC等于角ACB。

求证：边AB等于边AC。

因为：若AB不等于AC，那么其中肯定有一个是比较大的边，假设AB是较大的边；从AB上截取DB等于较小的AC，[I. 3]

连接DC，

又因：DB等于AC，并且BC是公用边，边DB等于AC，BC等于CB，并且角DBC等于角ACB，

所以：底DC等于底AB，并且三角形DBC全等于三角形ACB，也就是小的等于大的：这并不合理，

所以：AB必须等于AC。

证完。

命题7

过已知线段的两个端点，引出两条线段交于一点，那么不可能在这条线段（在它的两个端点）的同侧，有相交于另一点的另两条线段，分别等于前两条线段。即每个交点到相同端点的线段相等。

设：过A、B两点作交于点C的两条线段AC、CB。在同一侧，过A、B两点作另外两条线段AD、DB，相交于另外一点D。

因为：这二线段分别等于前面二线段，也就是每个交点到相同的端点，

因此：CA等于DA，它们都有共同的端点A，而CB等于DB，它们也都有共同的端点B，连接CD。

又因：AC等于AD，角ACD也就等于角ADC，[I. 5]

因此：角ADC大于角DCB，也就是角CDB比角DCB更大。

因为：CB等于DB，并且角CDB等于角DCB。可是上述已证明角CDB更大于角DCB，

所以：这是不成立的。

证完。

命题8

如果两个三角形有两边分别相等，同时底也相等，那么这两个三角形的所有对应角亦相等。

设：三角形ABC和三角形DEF，两边AB、AC分别等于两边DE、DF，也就是AB等于DE，并且AC等于DF。

设：底BC等于底EF。

那么可以说：角BAC等于角EDF。

如果移动三角形ABC到三角形DEF，让点B落在点E上，线段BC在EF上，点C也就和点F重合。

因为：BC等于EF，

因此：BC和EF重合，BA、AC也和ED、DF重合。

又因：若底BC与底EF重合，并且边BA、AC不和ED、DF重合，而是它们旁边的EG、GF处，

那么：在已知的线段（在它的端点）以上有相较于一点的给定两条线段。此时，在同一侧，从同一线段的两个端点，作交于另一个点的其余两条线段，它们分别等于前面二线段，也就是每一交点到同一端点的连线。

然而，不能作后二线段。[I. 7]

设：把底BC移动到底EF，边BA、AC和ED、DF不重合：以上并不成立，

因此：它们要重合，

所以：角BAC也重合并等于角EDF。

证完。

命题9

将一个已知的直线角二等分。

设：已知角BAC是一个直线角，要求将其二等分。

假设在AB上任意选取一点D，在AC上截取AE，AE等于AD；[I. 3]

连接DE，并且在DE上作一个等边三角形DEF，连接AF。

所以：角BAC被AF二等分。

因为：AD等于AE，而AF是公用边，且底DF等于底EF；

因此：角DAF等于角EAF。[I. 8]

所以：直线AF二等分给定直线角BAC。

证完。

命题10

将一条线段二等分。

设：AB是给定有限直线，要求二等分有限直线AB。

假设在AB上作一个等边三角形ABC。[I. 1]

并且设直线CD二等分角ACB。[I. 9]

可以说，线段AB在点D被二等分。

因为：AC等于BC，而CD为公用边，角ACD等于角BCD。

因此：底AD等于底BD。[I. 4]

所以：将已知有限直线AB二等分于点D。

证完。

命题11

过已知直线上的一个点，可以作该直线的垂直线。

设：AB是已知的直线，C是直线上的已知点。

要求由点C作一条直线和直线AB成直角。

在AC上任意截取一个点D，并且使CE等于CD，[I. 3]。

从DE上作一个等边三角形FDE

[I. 1]，连接FC。

因此：直线FC就是在已知直线AB上的点C作的垂直线。

因为：DC等于CE，而CF为公用边，并且底DF等于底FE，

因此：角DCF等于角ECF。[I. 8]

又因：角DCF与角ECF是邻角，

当一条直线和另一个直线相交成相等的邻角时，这些等角都是直角，[定义10]

所以：角DCF、FCE都是直角，

所以：从已知的直线AB上的给定点C作的直线CF和AB成直角。

证完。

命题12

从已知的无限直线外的一已知点作该直线的垂线。

设：AB为已知的无限直线，并且假设给定点C不在直线上。

要求：从点C作无限直线AB的垂线。

令：在直线AB的另一侧任意取一个点D，并且以点C为圆心，以CD为半径作圆EFG。[公设3]

假设线段EG被点H二等分。[I. 10]

连接CG、CH、CE。[公设1]

因为：GH等于HE，HC为公用边，并且底CG等于CE。

因此：角CHG等于角EHC。

又因：角CHG与角EHC是邻角，[I. 8]

在两条直线相交成相等的邻角时，每一个角都是直角，就称一条直线垂直于另一条直线。[定义10]

所以：从不在所给定的无限直线AB外的给定点C作的CH垂直于AB。

证完。

命题13

两条直线相交，邻角或是两个直角，或是它们的和等于两个直角（180°）。

设：在直线CD上的任意一条直线AB，交成角CBA与角ABD，要么是两个直角，要么它们的和互补（180˚）。

如果：角CBA等于角ABD，则可以推断出它们是两个直角，[定义10]

若不是，假设BE是在点B所作的和CD成直角的直线，[I. 11]

因此：角CBE和角EBD是两个直角。

因为：角CBE等于角CBA与角ABE的和，那么将它们都加上角EBD；可以得出角CBE、EBD的和就等于角CBA、ABE、EBD的和，[公理2]

又因：角DBE加上角EBA等于角DBA，那么角DBA加上角ABC等于角DBE加上角EBA再加上角ABC，等于两个直角（180˚），[公理2]

那么：角CBE与角EBD的和（180˚）也就证明了等于相同的三个角（60˚）的和。

因为：等于同量的量彼此相等，[公理1]

所以：角CBE、角EBD的和就等于角DBA、角ABC的和。

因为：角CBE、EBD的和是两个直角，

所以：角DBA、ABC的和等于两个直角。

证完。

命题14

如果两条不在同一边的直线过任意直线上的一点，且所构成的邻角等于两个直角的和（平角），那么这两条直线构成一条直线。

设：AB为任意直线，B是端点。直线BC、BD与AB不在同侧，邻角ABC、ABD的和等于两个直角（180˚）。

那么：BD和CB在同一直线上。

假设：BD和BC不在同一直线上，BE和CB在同一直线上。

因为：直线AB位于直线CBE上面，角ABC、角ABE的和等于两个直角，而角ABC、ABD的和等于两个直角，[I. 13]

因此：角CBA、角ABE的和等于角CBA、角 ABD的和。

[公设4和公理1]

如果：从它们中各减去角CBA，就让剩下的角ABE等于剩下的角ABD，[公理3]

此时，小角等于大角：不符合常理，

所以：假设无法成立，BE和CB不在一条直线上。

同理可证：除BD外，再没有其他的直线和CB在同一直线上，

所以：CB和BD在同一直线上。

证完。

命题15

若两条直线相交，那么交成的对顶角相等。

设：直线AB、CD相交于点E。

那么：AEC等于角DEB，并且角CEB等于角AED。

因为：直线AE位于直线CD上方，所构成的角CEA、AED，两个角的和等于两个直角，

又因：直线CE位于直线AB的上方，所组成的角AED、DEB的和等于两个直角，[I. 13]

并且之前证明了角CEA、AED的和等于两个直角，

所以：角CEA、AED的和等于角AED、DEB的和，[公设4和公理1]

从它们中各自减去角AED，那么剩下的角CEA等于剩下的角BED。[公理3]

同理可证：角CEB等于角DEA。

证完。

推论 很明显，如果两条直线相交，那么在交点处所构成的角的和等于四个直角的和（360˚）。

命题16

在任意三角形中，将一边延长，那么外角大于任意一个不相邻的内角。

设：ABC是一个三角形，延长边BC到点D。

那么：外角ACD大于内角CBA或角BAC。

线段AC被点E二等分，[I. 10]

连接BE并延长至点F，让EF等于BE，[I. 3]

连接FC，[公设1]

延长AC至G。[公设2]

因为：AE等于EC，BE等于EF，两边AE、EB分别等于两边CE、EF，

又因：角AEB和角FEC是对相等顶角，[I. 15]

所以：底AB等于底FC，并且三角形ABE全等于三角形CFE，剩下等边所对的角也都分别相等，[I. 4]

角BAE等于角ECF。

又因：角ECD大于角ECF，[公理5]

所以：角ACD大于角BAE。

同理可证：如果BC被平分，那么角BCG，或是角ACD，[I. 15]

大于角ABC。

证完。

命题17

在任意一个三角形中，两内角之和小于两个直角（180°）。

设：ABC是一个三角形。

那么：三角形ABC的任意两个角的和都小于两个直角。

将BC延长至点D。[公设2]

因为：角ACD是三角形ABC的外角，因此，它大于内对角ABC。

将角ACB与其他角相加，

那么：角ACD、ACB的和，大于角ABC、BCA的和。

因为：角ACD、ACB的和等于两个直角，[I. 13]

所以：角ABC、BCA的和小于二直角。

同理可证：角BAC、角ACB的和小于两个直角；角CAB、角ABC的和小于两个直角。

证完。

命题18

在任意一个三角形中，大边一定对大角。

设：在三角形ABC中，边AC大于边AB。

则可证：角ABC大于角BCA。

因为：AC大于AB，截取AD等于AB，[I. 3]

连接BD。

因为：角ADB是三角形BCD的外角，大于内对角DCB，[I. 16]

又因：边AB等于边AD，

所以：角ADB等于角ABD，

所以：角ABD大于角ACB，

因此：角ABC大于角ACB。

证完。

命题19

在任意一个三角形中，大角一定对大边。

设：在三角形ABC中，角ABC大于角BCA。

则可证：边AC大于边AB。

若假设不是，那么边AC等于或者小于AB。

现假设AC等于AB，那么角ABC也会等于角ACB。[I. 5]

但事实上是不相等的。

因此：AC不等于AB。

同理，AC也不能小于AB，因为这样，角ABC也会小于角ACB。[I. 18]

但事实并非如此，因此：AC不小于AB。

又因：已经证明了AC不能等于AB，

所以：AC大于AB。

证完。

命题20

在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。

设：ABC是三角形。

则可证：在三角形ABC中，任意两边之和大于第三边。

也就是：BA、AC之和大于BC；AB、BC之和大于AC；BC、CA之和大于AB。

那么：延长BA至点D，让DA等于CA，连接DC。

因为：DA等于AC，角ADC等于角ACD，[I. 5]

所以，角BCD大于角ADC。[公理5]

又因：在三角形DCB中，因为大角对大边，而角BCD大于角BDC，[I. 19]

所以：DB大于BC，

并且DA等于AC，

所以：BA、AC的和大于BC。

同理可证：AB、BC的和大于CA；BC、CA的和大于AB。

证完。

命题21

如果从三角形的一边的两个端点，向三角形内部引两条相交的线段，那么从交点到两端点的线段和，小于三角形其余两边的和，其夹角大于三角形的顶角。

设：在三角形ABC的一条边BC上，从端点B、端点C作两条线段BD、DC，相交于三角形内部。

则可证：BD与DC的和，小于三角形的其余两边BA与AC的和，所夹的角BDC大于角BAC。

令：延长BD和AC交于点E。

因为：在三角形中任意两边之和大于第三边，[I. 20]

所以：在三角形ABE中，边AB与AE的和大于BE。

将EC加到以上各边，那么BA与AC的和大于BE与EC的和。

因为：在三角形CED中，CE与ED两边的和大于CD，

将它们分别与DB相加，

那么：CE与EB的和大于CD与DB的和。

因为：已证明BA与AC的和大于BE与EC的和，

所以：BA与AC的和大于BD与DC的和。

又因：在任何三角形中，外角大于内对角，[I. 16]

所以：在三角形CDE中，外角BDC大于角CED。

同理可证：在三角形ABE中，外角CEB大于角BAC。而角BDC大于角CEB，

所以：角BDC比角BAC更大。

证完。

命题22

用等于已知三条线段的三条线段建立三角形，那么这三条线段中的任意两条线段的和，必须大于另外一条线段。

设：已知的三条线段是a、b、c。它们中任何两条之和大于另外一条。即a与b的和大于c；a与c的和大于b；b与c的和大于a。

则可用等于a、b、c的三条线段，作一个三角形。

假设另外有一条直线DE，一端为D，另一端向E的方向无限延长，

令：DE等于a，FG等于b，GH等于b。[I. 3]

以F为圆心，FD为半径，画圆DKL；以G为圆心，GH为半径，画圆KLH。

圆KLH与圆KLD相交于K，并连接KF、KG。

可以说：三角形KFG是由等于a、b、c的三条线段所做成的三角形。

因为：点F是DKL的圆心，因此FD等于FK，

并且FD等于a，所以KF等于a。

又因：点G是圆LKH的圆心，因此GH等于GK，

所以：GH等于c，

所以：KG等于c，且FG等于b，

所以：三条线段KF、FG、GK等于已知的线段a、b、c，

因此：用分别等于已知线段a、b、c的三条线段KF、FG、GK作了三角形KFG。

证完。

命题23

已知直线和它上面的一点，作一个直线角等于已知直线角。

设：AB是已知直线，A是其上面的一个点，角DCE是已知的直线角。

则可从已知直线AB上选取的已知点A，作一个角等于给定直线角DCE。

令：在直线CD、CE上分别任意取点D、E，连接DE。

用等于CD、DE、CE的三条线段作三角形AFG，让CD等于AF，CE等于AG，DE等于FG。[I. 22]

因为：CD等于AF，CE等于AG，且底DE等于底FG；角DCE等于角FAG，[I. 8]

所以：在已知的直线AB和它上面已知点A作了直线角FAG，并等于已知直线角DCE。

证完。

命题24

假设在两个三角形中，有两条边分别相等，并且一个三角形的夹角大于另一个三角形的夹角，那么夹角大的所对的边也较大。

设：ABC、DEF是两个三角形，边AB与AC分别等于边DE与DF，也就是AB等于DE，AC等于DF，并且在A的角大于在D的角。

可以说：底BC大于底EF。

因为：角BAC大于角EDF，在线段DE的点D作角EDG，等于角BAC，[I. 23]

令：截取DG等于AC，并且等于DF，连接EG、FG，

那么：AB等于DE，AC等于DG，两边BA等于ED，AC等于DG，

并且角BAC等于角EDG，因此底BC等于底EG。[I. 4]

由于DF等于DG，角DGF等于角DFG，[I. 5]

所以：角DFG大于角EGF，

因此：角EFG大于角EGF。

因为：EFG是一个三角形，角EFG大于角EGF，并且较大角所对的边较大，[I. 19]

边EG大于EF，但EG等于BC，

所以：BC大于EF。

证完。

命题25

假如在两个三角形中，有两条边分别对应相等，其中一个三角形的第三边比另一个大，那么第三边较大的所对的角也较大。

设：ABC、DEF是两个三角形，其中两边AB、AC分别等于两边DE、DF，即AB等于DE，AC等于DF；并且设底BC大于底EF。

那么，可以说：角BAC大于角EDF。

若非如此，则角BAC小于或等于角EDF，

现在，先设角BAC不等于角EDF，否则底BC就会等于底EF，这与已知相矛盾，[I. 4]

所以：角BAC不等于角EDF。

又设角BAC不小于角EDF，那么底BC就会小于底EF，[I. 24]

但事实并非如此，

所以：角BAC不小于角EDF。

由于已证三角不相等，

所以：角BAC大于角EDF。

证完。

命题26

如果在两个三角形中，有两对角分别相等，并且有一条边相等，如果这条边是等角的夹边，又或是等角的对边，那么它们其他的边也相等，并且角也相等。

设：在三角形ABC、DEF中，有两角分别相等，

即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD。

又设：有一边等于另一边，可以先设它们是等角所夹的边，也就是BC等于EF，

那么可以说：其余的边也分别相等，也就是AB等于DE，AC等于DF，

同样，其余的角也分别相等，即角BAC等于角EDF。

因为：如果AB不等于DE，那么其中有一条边较大，

设：AB是较大的，截取BG等于DE，连接GC。

因为：BG等于DE，BC等于EF，

所以：两边GB、BC分别等于DE、EF。

又因：角GBC等于角DEF，

所以：底GC等于底DF。

因为：三角形GBC全等于三角形DEF，其余的角也分别相等，即等边相对的角对应相等，[I. 4]

所以：角GCB等于角DFE。

但是根据假设，角DFE等于角BCA，

所以：角BCG等于角BCA，

就是小的等于大的，这是不可能的，

因此：AB不能不等于底DE，从而得出AB等于DE。

但是，BC等于EF，

所以：两边分别相等，即AB等于DE，BC等于EF，并且角ABC等于角DEF，

因此：底AC等于底DF，剩下的角BAC等于角EDF。[I. 4]

又设：等角的对边相等，比如AB等于DE，

那么可以说：其余的边分别相等，也就是AC等于DF，BC等于EF，角BAC等于角EDF。

假如BC不等于EF，其中有一个较大，

又设：BC是较大的，且BH等于EF，连接AH，

那么：由于BH等于EF，AB等于DE，

所以：有两边分别相等，即AB等于DE，BH等于EF，且它们的夹角相等，

所以：底AH等于底DF，三角形ABH全等于三角形DEF，

其余的角也互相相等，也就是等边所对的角相等，[I. 4]

所以：角BHA等于角EFD。

但是角EFD等于角BCA，

所以：在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA；这是不可能的，[I. 16]

因此：BC不能不等于EF，必须要等于。

但是，AB等于DE，因此两边AB、BC分别等于两边DE、EF，它们所夹的角也相等，

所以：底AC等于底DF，

三角形ABC等于三角形DEF，并且其余的角BAC等于其余的角EDF。[I. 4]

证完。

命题27

假如一条直线和两条直线相交所成的错角彼此相等，那么这两条直线互相平行。

设：直线EF和两条直线AB、CD相交所成的错角AEF与EFD彼此相等。

那么可以说：AB平行于CD。

事实上，如果两条直线不平行，在延长AB、CD时，它们要么在B、D方向，要么在A、C方向相交，假设它们在B、D方向相交于G，

所以：在三角形GEF中，外角AEF等于内对角EFG：这是不可能的，[I. 16]

因此：AB、CD经过延长后在B、D方向不相交。

同理可证：它们在A、C方向也无法相交。

如果两条直线不在任何一方相交，那么就相互平行。[定义23]

所以：AB平行于CD。

证完。

命题28

假如一条直线和两条直线相交所成的相同位置的角相等，又或者和旁内角的和等于两直角，那么这两条直线相互平行。

设：直线EF和两条直线AB、CD相交所成的同位角EGB和GHD相等，又或者同旁内角，即BGH与GHD的和等于两直角。

那么可以说：AB平行于CD。

因为：角EGB等于角GHD，角EGB等于角AGH，[I. 15]

又因：角AGH等于角GHD，并且它们是错角，

因此：AB平行于CD。[I. 27]

因为：角BGH、GHD的和等于两直角，并且角AGH、BGH的和等于两直角，[I. 13]

角AGH、BGH的和等于角BGH、GHD的和。在前面两边各减去角BGH，那么剩下的角AGH等于剩下的角GHD，并且它们是错角，

所以：AB平行于CD。[I. 27]

证完。

命题29

一条直线与两条平行线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于两直角。

设：直线EF与两条平行线AB、CD相交。

那么可以说：错角AGH、GHD相等；同位角EGB、GHD相等；同旁内角BGH、GHD的和等于两直角。

因为：如果角AGH不等于角GHD，假设其中一个比较大，较大的角是AGH。在这两个角都加上角BGH，那么角AGH、BGH的和大于角BGH、GHD的和，

又因：角AGH、BGH的和等于两直角，[I. 13]

所以：角BGH、GHD的和小于两直角，

将两直线无限延长，在二角的和小于两直角这侧相交。[公设5]

所以：如果无限延长AB、CD则必定会相交，但是它们并不相交。由于，假设它们是平行的。因此角AGH不能不等于角GHD，它们必须相等。

又因：角AGH等于角EGB，[I. 15]

所以：角EGB等于角GHD，[公理1]

在上面两边各加角BGH，那么角EGB、BGH的和等于角BGH、GHD的和。[公理2]

又因：角EGB、BGH的和等于两直角，[I. 13]

所以：角BGH、GHD的和等于两直角。

证完。

命题30

平行于同一条直线的两条直线，相互平行。

设：直线AB、CD的每一条线都平行于EF。

那么可以说：AB也平行于CD。

可设：直线GK与这三条直线相交，此时，由于直线GK和平行直线AB、EF都相交，角AGK等于角GHF。[I. 29]

因为：直线GK和平行直线EF、CD相交，角GHF等于角GKD，[I. 29]

又因：已证角AGK等于角GHF，

因此：角AGK等于角GKD；[公理1]

且它们都是错角，

所以：AB平行于CD。

证完。

命题31

过一个给定点作一条直线平行于给定直线。

设：给定点A，给定直线BC。要求经过点A作一条直线平行于直线BC。

从BC上任意取一点D，连接AD；在直线DA上的点A，作角DAE等于角ADC。[I. 23]

假设直线AF是直线EA的延长线。

因为：直线AD和两条直线BC、EF相交成彼此相等的错角EAD、ADC，

所以：EAF平行于BC，[I. 27]

所以：经过已知点A作了一条平行于已知直线BC的直线EAF。

作完。

命题32

在任意三角形中，如果延长一边，则形成的外角等于两个内对角的和，并且三角形的三个内角和等于两直角。

设：ABC是一个三角形，延长边BC至D。

那么可以说：角ACD等于两个内对角CAB、ABC的和，并且三角形的三个内角和，也就是角ABC、BCA、CAB的和等于两直角。

可设：过点C作平行于直线AB的直线CE。[I. 31]

因为：AB平行于CE，并且AC和它们相交，形成的错角BAC、错角ACE相等，[I. 29]

因为：AB平行于CE，且直线BD与它们相交，同位角ECD与角ABC相等，[I. 29]

但已证，角ACE等于角BAC，

所以：整体角ACD等于两内对角BAC、ABC的和。

将上面各边加上角ACB，

可以得出角ACD、ACB的和等于三个角ABC、BCA、CAB的和。

又因：角ACD、ACB的和等于两直角，[I. 13]

所以：角ABC、BCA、CAB的和等于两直角。

证完。

命题33

在同一方向（分别）连接相等且平行的线段端点，那么所连接成的线段也相互平行且相等。

设：AB、CD是相等且平行的直线，且AC、BD是沿着同一方向（分别）连接它们端点的线段。

那么可以说：AC、BD相等且平行。连接BC。

因为：AB平行CD，并且BC与它们相交，错角ABC与角BCD相等，[I. 29]

又因：AB等于CD，并且BC公用，

两边AB、BC分别等于两边DC、CB，角ABC等于角BCD，

所以：底AC等于底BD，并且三角形ABC全等于三角形DCB。剩下的角也分别相等，也就是相等边所对的角，[I. 4]

所以：角ACB等于角CBD。

由于，直线BC同时与两直线AC、BD相交所成的错角相等，AC平行于BD，[I. 27]

已证它们也相等。

证完。

命题34

在平行四边形面中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面。

设：ACDB是平行四边形面，BC是对角线。

那么可以说：平行四边形面ACDB的对边相等，对角相等，对角线BC二等分此面。

实际上，因为AB平行于CD，并且直线BC和它们相交的错角ABC与错角BCD相等，[I. 29]

又因：AC平行于BD，且BC与它们相交，内错角ACB与CBD相等，[I. 29]

所以：ABC、DCB是有两个角ABC、BCA分别等于角DCB、CBD的三角形，并且一条边等于一条边，也就是与等角相邻并且是二者公共的边BC，

所以：其余的边也分别相等，其余的角也分别相等，[I. 26]

所以：边AB等于CD，AC等于BD，并且角BAC等于角CDB。

因为：角ABC等于角BCD，角CBD等于角ACB，整体角ABD等于整体角ACD，[公理2]

因此：也证明了角BAC等于角CDB，

所以：在平行四边形面中，对边彼此相等，对角也相等。

然后，证明对角线二等分其图形。

因为：AB等于CD，并且BC公用，

两边AB、BC分别等于两边DC、CB，并且角ABC等于角BCD，

因此：底AC等于底DB，三角形ABC全等于三角形DCB，[I. 4]

所以：对角线BC二等分平行四边形ACDB。

证完。

命题35

同底并且在相同两条平行线之间的平行四边形面积彼此相等。

设：ABCD、EBCF是平行四边形，有着同底BC，并且在相同两平行线AF、BC之间。

那么可以说：平行四边形ABCD等于平行四边形EBCF。

因为：ABCD是平行四边形，因此AD等于BC，[I. 34]

同理可证：EF等于BC，而AD等于EF。[公理1]

又因：DE为公用，因此整体AE等于整体DF，[公理2]

且AB等于DC，[I. 34]

所以：两边EA、AB分别等于两边FD、DC，且由于同位角相等，角FDC等于角EAB，[I. 29]

因此：底EB等于底FC，

且三角形EAB全等于三角形FDC。[I. 4]

从上边每一个减去三角形DGE，

那么剩余的不规则四边形仍然相等，即四边形ABGD等于四边形EGCF。[公理3]

在上面两个图形加上三角形GBC，

那么整体平行四边形ABCD等于整体平行四边形EBCF。[公理2]

证完。

命题36

等底且在相同两条平行线之间的平行四边形面积彼此相等。

设：ABCD、EFGH是平行四边形，它们在等底BC、FG上。并且在相同的平行线AH、BG之间。

那么可以说：平行四边形ABCD面积等于EFGH面积。连接BE、CH。由于BC等于FG，FG等于EH，因此BC等于EH。[公理1]

由于它们也相互平行。

连接EB、HC；

因为：在同方向（分别）连接相等且平行的（在端点）线段相等且平行，[I. 33]

所以：EBCH是一个平行四边形，[I. 34]

并且它等于平行四边形ABCD，由于有相同底BC，并在相同平行线BC、AH之间。[I. 35]

同理可证：平行四边形EFGH等于同一个平行四边形EBCH，[I. 35]

所以：平行四边形ABCD等于平行四边形EFGH。[公理1]

证完。

命题37

同底且在相同两条平行线之间的三角形彼此相等。

设：三角形ABC、三角形DBC同底，并处在相同平行线AD、BC之间。

那么可以说：三角形ABC等于三角形DBC。

向两个方向延长AD到E、F；过B点作BE平行于CA，[I. 31]

过C点作CF平行于BD。

那么图形EBCA、图形DBCF的每一个都是平行四边形；并且它们相等。

因为：它们在同底BC上，并且在两平行线BC、EF之间，[I. 35]

又因：对角线AB二等分三角形ABC，因此：三角形ABC是平行四边形EBCA的一半，[I. 34]

[相等的量一半也彼此相等。]

所以：三角形ABC等于三角形DBC。

证完。

命题38

等底且在相同两条平行线之间的三角形彼此相等。

设：三角形ABC、三角形DEF在等底BC、EF上，并且在相同两条平行线BF、AD之间。

那么可以说：三角形ABC等于三角形DEF。

因为：向两个方向延长AD至G、H；过B作BG平行于CA，[I. 31]

过F作FH平行于DE，

那么图形GBCA、DEFH每一个都是平行四边形，并且相等。

因为：它们在等底BC、EF上，并且在相同的两条平行直线BF、GH之间，[I. 36]

同时，由于对角线AB二等分平行四边形GBCA，因此，三角形ABC是平行四边形GBCA的一半，[I. 34]

又因：对角线DF二等分平行四边形DEFH，因此，三角形FED是平行四边形DEFH的一半，[I. 34]

[等量的一半也彼此相等。]

所以：三角形ABC等于三角形DEF。

证完。

命题39

同底且同侧的相等三角形，也在相同的两条平行线之间。

设：ABC、DBC是相等的三角形，有共同底BC，且在BC同一侧。

[那么可以说：它们在相同两条平行线之间。]

如果连接AD。

那么可以说：AD平行于BC。因为如果不平行，经过点A作AE平行于直线BC，[I. 31]

连接EC，

所以：三角形ABC等于三角形EBC。

因为：它们在同底BC上，并且在相同的两条平行线之间，[I. 37]

又因：三角形ABC等于三角形DBC，所以：三角形DBC等于三角形EBC，[公理1]

大的等于小的，不符合常理，

所以：AE不能平行于BC。

同理可证：除AD外，任何其他直线都不平行于BC，

所以：AD平行于BC。

证完。

命题40

等底且在同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。

设：ABC、CDE是相等的三角形，并有等底BC、CE，并在底的同侧。

那么可以说：两个三角形在相同的两条平行线之间。如果连接AD。

那么：AD平行于BE。

假如不是这样，设AF经过点A，平行于BE。[I. 31]

连接FE，

所以：三角形ABC等于三角形FCE。因为它们在等底BC、CE上，并在相同平行线BE、AF之间。[I. 38]

但是，三角形ABC等于三角形DCE，

所以：三角形DCE等于三角形FCE，

大的等于小的：不符合常理，

所以：AF不平行于BE。

同理可证：除了AD外，其他任何直线都不平行于BE，

所以：AD平行于BE。

证完。

命题41

若一个平行四边形和一个三角形同底，并且在两条平行线之间，那么平行四边形是这个三角形的二倍。

设：平行四边形ABCD和三角形EBC有共同底BC，又在相同平行线BC、AE之间。

那么可以说：平行四边形ABCD是三角形BEC的二倍。

连接AC。

因为：三角形ABC和三角形EBC相等，又有同底BC，且二者在相同平行线BC、AE间，因此两个三角形相等，[I. 37]

又因：对角线AC二等分ABCD，因此：平行四边形ABCD是三角形ABC的二倍，[I. 34]

所以：平行四边形ABCD也是三角形EBC的二倍。

证完。

命题42

用给定的直线角作平行四边形，让它等于已知的三角形。

设：ABC是已知三角形，且D是给定直线角，用直线角D作一个平行四边形等于三角形ABC。

将BC二等分于E，连接AE；

在直线EC上的点E作角CEF，让它等于给定角D。[I. 23]

经过A作AG平行于EC，[I. 31]

经过C作CG平行于EF，

因此：EFCG是平行四边形。

因为：BE等于EC，

又因：在相等的底BE、EC上，并在相同的平行线BC、AG之间，

因此：三角形ABE等于三角形AEC，[I. 38]

所以：三角形ABC是三角形AEC的二倍。

因为：平行四边形FECG等于三角形AEC的二倍，因此：它们同底并在相同的平行线之间，[I. 41]

所以：平行四边形FECG等于三角形ABC，

并且角CEF等于给定角D，

所以：作了平行四边形FECG，等于已知三角形ABC，并有一个角CEF等于给定角D。

作完。

命题43

在任意平行四边形中，跨在对角线两边平行四边形的补形彼此相等。

设：ABCD是平行四边形，AC是它的对角线；AC也是平行四边形EH、FG的对角线。把BK、KD称为补形（也就是填满空间的图形）。

那么可以说：补形BK等于补形KD。

因为：ABCD是平行四边形，并且AC是它的对角线。三角形ABC等于三角形ACD，[I. 34]

又因：EH是平行四边形，并且AK是它的对角线，三角形AEK等于三角形AHK，

同理可证：三角形KFC等于三角形KGC。

因为：三角形AEK等于三角形AHK，且KFC等于KGC，因此：三角形AEK与KGC的和等于三角形AHK与KFC的和，[公理2]

又因：整体三角形ABC等于整体三角形ADC，

所以：剩下的补形BK等于补形KD。[公理3]

证完。

命题44

以给定的直线角，对给定的线段贴合出平行四边形，让它的面积等于给定三角形。

设：AB是已知线段，C是给定三角形，D是给定直线角。求用已知线段AB，以及等于D的一个角，贴合出一个平行四边形，等于给定三角形C。

设：作等于三角形C的平行四边形是BEFG，角EBG等于角D，[I. 42]

移动线段BE到直线AB上，延长FG至H，过A作AH平行于BG或EF。[I. 31]

连接HB。

因为：直线HF交平行线AH、EF；角AHF与HFE的和等于两直角，[I. 29]

所以：角BHG和GFE的和小于两直角，且将直线无限延长后在小于两直角的一侧相交，[公设5]

所以：HB、FE延长后会相交，设延长之后交点为K，过点K作KL平行于EA或FH，[I. 31]

设：HA、GB延长至点L、M。

因为：HLKF是平行四边形，HK是其对角线；AG、ME是平行四边形；LB、BF是关于HK的补形，

所以：LB等于BF。[I. 43]

因为：BF等于三角形C，因此LB等于C，[公理1]

又因：角GBE等于角ABM，[I. 15]

此时角GBE等于角D，角ABM等于角D，

所以：对线段AB贴合出的平行四边形LB等于已知三角形C，并且角ABM等于给定角D。

作完。

命题45

用给定直线角作一个平行四边形，使其等于给定的直线形。

设：ABCD是给定的直线形，E是给定直线角。

要求：作一个平行四边形，使其等于直线形ABCD，且角等于给定直线角E。

连接DB，假设作的等于三角形ABD的平行四边形是FH，角HKF等于角E；[I. 42]

设：对线段GH贴合一平行四边形GM等于三角形DBC，角GHM等于角E。[I. 44]

因为：角E等于角HKF和角GHM，因此：角HKF等于角GHM，[公理1]

将角KHG加在上面各边，得出角FKH、KHG的和等于角KHG、GHM的和，

又因：角FKH、KHG的和等于两直角，[I. 29]

所以：角KHG、GHM的和等于两直角，

如此，用线段GH和它上面的点H，不在它同侧的两线段KH、HM作成相邻的二角和等于两直角，

所以：KH和HM在同一条直线上。[I. 14]

又因：直线HG和平行线KM、FG相交，错角MHG、HGF相等，[I. 29]

将角HGL加在以上各边，

那么角MHG、HGL的和等于角HGF、HGL的和。[公理2]

因为：角MHG、HGL的和等于两直角，[I. 29]

所以：角HGF、HGL的和等于两直角，[公理1]

所以：FG和GL在同一条直线上。[I. 14]

因为：FK平行且等于HG，[I. 34]

HG也平行且等于ML，于是，KF也平行且等于ML，[公理1，I. 30]

连接线段KM、FL的端点处，KM与FL平行且相等，[I. 33]

所以：KFLM是平行四边形。

因为：三角形ABD等于平行四边形FH，三角形DBC等于平行四边形GM，整体直线形ABCD等于整体平行四边形KFLM，

所以：作了一个等于给定直线形ABCD的平行四边形KFLM，其中，角FKM等于给定角E。

作完。

命题46

在给定线段上作正方形。

设：AB是给定的线段，要求在AB上作一个正方形。

让AC是从线段AB上的点A所画的直线，并与AB成直角。[I. 11]

截取AD等于AB；

过点D作DE平行于AB，过点B作BE平行于AD，因此ADEB是平行四边形；从而AB等于DE，并且AD等于BE。[I. 34]

因为：AB等于AD，

所以：四条线段BA、AD、DE、EB相等；所以平行四边形ADEB等边。

然后，证明四个角都是直角。

因为：线段AD和平行线AB、DE相交，角BAD、ADE的和等于两直角，[I. 29]

又因：角BAD是直角，

因此：角ADE也是直角，在平行四边形面中，对边及对角相等，[I. 34]

所以：对角ABE、BED中的每一个也都是直角，所以ADEB是直角。

由于已经证明平行四边形ADEB是等边的，

所以：它是在线段AB上所作的正方形。

证完。

命题47

在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于两直角边上的正方形的和。

设：ABC是直角三角形，给定角BAC是直角。

那么可以说：BC上的正方形等于BA、AC上的正方形之和。

实际上，在BC上作正方形BDEC，在BA、AC上作正方形GB、HC。[I. 46]

过A作AL平行于BD或CE，连接AD、FC。

因为：角BAC、BAG的每一个角都是直角，过直线BA上点A的两条直线AC与AG，不在直线BA的同一侧，且和直线BA所成的两邻角的和等于两直角，

所以：CA与AG在同一条直线上。[I. 14]

同理可证：BA与AH也在同一条直线上。

因为：角DBC等于角FBA，因为每个角都是直角，给以上两角分别加上角ABC，

所以：整体角DBA等于整体角FBC。[公理2]

因为：DB等于BC，FB等于BA；两边AB、BD分别等于两边FB、BC。

又因：角ABD等于角FBC，

所以：底AD等于底FC，并且三角形ABD全等于三角形FBC，[I. 4]

所以：平行四边形BL等于三角形ABD的二倍，由于它们有同底BD，并在平行线BD、AL之间。[I. 41]

因为：正方形GB与三角形FBC同底FB，并且在相同平行线FB、GC之间，

所以：正方形GB是三角形FBC的二倍，[I. 41]

[等量的二倍仍彼此相等。]

所以：平行四边形BL等于正方形GB。

同理可证：连接AE、BK也能证明平行四边形CL等于正方形HC，

所以：整体正方形BDEC等于两个正方形GB、HC的和。[公理2]

因为：正方形BDEC是在BC上作的，正方形GB、HC是在BA、AC上作的，

所以：在边BC上的正方形等于边BA、AC上的正方形的和。

证完。

命题48

在三角形中，如果一边上的正方形等于另外两边上的正方形的和，那么夹在另外两边之间的角是直角。

设：在三角形ABC中，边BC上的正方形等于边BA、AC上的正方形的和。

那么可以说：BAC是直角。

设：在点A作AD与AC成直角，取AD等于BA，连接DC。

因为：DA等于AB，DA上的正方形等于AB上的正方形，

给上面的正方形各边加上AC上的正方形，

那么DA、AC上的正方形的和等于BA、AC上的正方形的和。

又因：DC上的正方形等于DA、AC上的正方形的和，由于角DAC是直角，[I. 47]

由于假设，BC上的正方形等于BA、AC上的正方形的和，

所以：DC上的正方形等于BC上的正方形，如此，边DC等于边BC。

因为：DA等于AB、AC公用，

两边DA、AC等于两边BA、AC；并且底DC等于底BC，

所以：角DAC等于角BAC。[I. 8]

又因：DAC是直角，

所以：角BAC也是直角。

证完。