第2章 误差与不确定度

§1 测量与误差

一、测量

（一）测量的定义

所谓测量，就是将待测的物理量与相应的计量单位进行比较，其倍数即测量值，连同计量单位构成测量结果。例如，用米尺测量单摆的摆长，经比较得到摆长是1m的0.865,0.865是测得值，m是单位，合起来构成测量结果，即摆长为0.865m。

（二）测量的分类

测量可分为直接测量和间接测量。

直接测量是指被测量与计量单位直接比较，就可获得结果。如用米尺测物体的长度，用停表测时间，用电流表测电流等均属于直接测量。通过直接测量就可得到结果的量叫直接测量量，如长度、质量和时间等。

间接测量是指由一个或几个直接测得量经已知函数关系计算出被测量量值的测量。例如，测量物体的质量和体积，由已知公式ρ=mV算出物体密度的过程就是间接测量。通过间接测量测得的量叫间接测量量。

有时根据测量条件变化与否可把测量分成等精度测量和不等精度测量。

等精度测量是指在测量条件相同的情况下进行的一系列测量，即同一个人在同样的环境条件下在同一仪器上采用同样的测量方法对同一量进行的多次测量。

不等精度测量是指同一量进行多次测量时改变测量条件，如更换仪器型号、改变测量方法、更换测量人员等，在测量条件变更前后，测量结果的可靠程度不等，这样的测量叫不等精度测量。

二、真值与误差

（一）真值

每一个物理量都是客观地存在着，在一定条件下有其不依人的意志而变化的固定大小，这个客观存在的固定大小的值叫真值。

（二）误差

由于测量总是依据一定的理论或方法，使用一定的仪器，由一定的人进行，由于理论的近似性，仪器的灵敏度及环境因素的影响，使得测量值与真值间总存在着差异，定义测量值和真值的差为误差：

测量值（x）-真值（a）=误差（ε）

误差ε是一个代数值，当x≥a时，ε≥0；当x＜a时，ε＜0。由于真值是不确知的，所以测量值的误差也是不确知的。在此情况下，测量的任务是：

（1）给出被测量的最佳估计值。

（2）给出真值最佳估计值的可靠程度的估计。

三、误差的分类

为了减少或消除某些误差，就要充分认识各种误差可能的一些来源以及表现出来的性质，因此有必要对误差进行分类，通常把误差分成系统误差、粗大误差和偶然误差。

（一）系统误差

系统误差的主要特征是具有确定性。在一定条件下进行多次测量时，误差的大小或正负保持不变或按一定规律变化。

1．系统误差的来源

系统误差的来源可概括为以下四个方面：

（1）仪器误差：由于测量仪器或工具本身的缺陷产生的误差，如天平不等臂带来的误差。

（2）方法误差：由于理论、方法的近似而导致的误差，如单摆的周期公式为，要求摆角足够小，忽略了摆角的影响面产生的误差。自由落体下落距离公式为，忽略了空气阻力产生的误差。

（3）环境误差：周围环境的变化如温度、压强、湿度和电磁场等因素的变化而产生的误差。

（4）个人误差：观测人员的心理或生理特点所造成的误差，如计时的超前或落后，读表时的偏左或偏右等。

大量的一般测量的实践表明，系统误差分量对测量结果的影响常常显著地大于随机误差分量的影响。因此大学物理实验要重视对系统误差的分析，尽量减小它对测量结果的影响。

2．发现系统误差的方法

一般发现系统误差的方法主要有以下三种：

（1）仪器分析：主要分析仪器的示值误差、零值误差、调整误差和回程误差等，其中回程误差是指在相同条件下，仪器正反行程在同一点上测量值之差的绝对值。

（2）理论分析：从实验装置、实验条件与理论设定条件是否一致去发现系统误差，如用伏安法测电阻时，无论是内接法还是外接法均与理论约定不相符，但可以通过理论分析进行修正。

（3）对比实验：改变实验的部分条件甚至全部重新去测被测量，分析改变前后的测量值是否有显著不同，从中去分析有无系统误差。

3．系统误差的处理方法

（1）对换法：将测量中的某些因素相互交换，造成某项系统误差的正负号发生变化。例如用电桥测电阻时，交换待测电阻与标准电阻的位置可以消除接触电阻造成的误差。

（2）补偿法：如在热学实验中，在升温和降温条件下对温度测量各进行一次，两次测量的平均值可以抵消由于测量值比实际温度滞后带来的系统误差。

（3）替代法：在一定条件下，用一已知量替代被测量以消除系统误差。

（4）异号法：使系统误差在测量中出现两次，两次的符号恰好相反，取两次测量的平均值作为测量结果即可将系统误差消除。

（二）粗大误差（又称过失误差）

粗大误差指明显超出规定条件下预期的误差。粗大误差是在测量过程中某些突然发生的不正常因素，如较强的外界干扰、测量条件的意外变化、测量者的疏忽大意等造成的，它是统计的异常值，属于失控或认为的错误，应尽量避免。如果在测量结果中出现粗大误差，则应按一定规则剔除。

（三）偶然误差（又称随机误差）

1．偶然误差的定义

偶然误差是由偶然的不确定因素造成的每一次测量值的无规则涨落，在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化，其特征是它的随机性、偶然性。偶然误差的出现，就某一测量值来说是没有规律的，其大小和方向都是不能预知的。

2．偶然误差的特点

由于偶然误差产生的原因很多，又无法估计，因此无法消除，但并非没有规律可循。当对物理量进行多次测量时，偶然误差呈现一定的规律性，即偶然误差服从正态分布规律（即统计规律），具有如下特点：

（1）单峰性：测量值与真值相差越小，其可能性越大；与真值相差越大，其可能性越小。

（2）对称性：测量值与真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。

（3）有界性：在一定的测量条件下，误差的绝对值不会超过一定的限度。

（4）抵偿性：随机误差的算术平均值随测量次数的增加越来越小。

根据上述特性，通过多次测量求平均值的方法，可以使随机误差相互抵消。算术平均值与真值较为接近，一般作为测量的结果。

3．偶然误差的评价

当测量进行了n次，每次的测量值为为n次测量结果的算术平均值。假如各次测量只存在偶然误差，偶然误差有正有负，相加时抵消一些，所以n越大，算术平均值越接近真值，因此可以用算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，每一次测量的误差是多少用标准偏差来描述：

此式即贝塞尔公式，对于测量结果的平均值x的标准偏差则为

在同一条件下对某一物理量进行多次独立测量时，测量值的分布可用正态分布函数来描述，其函数为

式中，x为某次测量值；x为算术平均值，其表达式为

σ为标准偏差，其表达式为

和函数相对应的曲线如图1.2.1所示。

分布函数f（x）的意义是测量值落在x附近单位间隔内的概率，f（x）函数曲线下的全部面积是总概率，即

标准偏差σ的意义有以下三个方面：

（1）表征测量值的离散度。从图1.2.2上可以看到，σ越小，分布函数f（x）曲线越陡，表征测量值越集中，离散度越小；反之σ越大，分布函数f（x）曲线越平坦，表征测量值越分散，离散度越大。

（2）曲线f（x）从到区间的面积为

此时表征测量值落在区间的概率为68%。

（3）人们常用σ和来评价测量结果的误差大小。对于有限次测量，测量结果的平均值落在区间的概率为68%，同理有

即落在区间的概率为99.7%。由此可见，落在此区间外的可能性已经很小，因此引入极限误差概念。极限误差用Δ表示，即

Δ=3σ

如果某次测量值的误差超过了这个值，我们通常认为是坏数据，应当剔除。