§2 数据处理方法

一、列表法

一般写实验报告都要列数据表，尤其是在数据比较多时，更宜于用列表法处理数据。数据列表要求表格设计合理，简单明了，根据需要可把计算的中间项列出来，一些相关量、对应量都可按一定的形式和顺序列出相应栏目，这样就可简单明确地表示出相关的物理量之间的对应关系。列表法处理数据可使实验报告形式简捷，眉目清楚，便于随时检查测量数据，及时发现问题，提高数据处理效率，避免不必要的重复计算。

列表要注意完整，写明表格与栏目的名称，单位与公因子写在标称栏内，不得重复写在各数据中。每测完一个数据，要用钢笔或圆珠笔直接填入数据表格内，要根据仪表的最小刻度所决定的实验数据的有效数字认真填写，各数据之间不要太挤，应留有间隙，以供必要时补充和修改。测得的原始数据填入数据表格后不得随意更改，若发现数据有错误，可在错误的数据上画一条整齐的直线，然后在附近重新写上正确的数据，且需注明错误的原因。

二、作图法

（一）作图法的作用和优点

作图法处理数据，可形象直观反映物理量之间的关系，这是作图法处理数据的突出优点。作图法是了解物理量间的函数关系，找出经验公式的最常用方法之一。由于图线是依据点作出的，所以作图具有多次测量取平均的作用。利用作图法可以从图线中求出某些物理量或常数，也可直接从图中读出没有进行观测的对应于x的y值，“内插法”和“外延法”就是从所作的图线上或延长线上读坐标的方法。

（二）作图的基本规则

（1）选用坐标纸：根据作图参量的性质，选用毫米直角坐标纸、对数坐标纸或其他坐标纸等。坐标纸的大小应根据测得数据的大小、有效数字的多少以及结果的需要来定。

（2）坐标轴的比例与标度：一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量。在坐标纸的左下方画两条粗细适当的线表示纵轴和横轴，在轴的末端近旁标明所代表的物理量及其单位。要适当选取横轴和纵轴的比例和坐标的起点，使曲线居中，并布满图纸的70%～80%。标度时注意做到：

①图上实验点的坐标读数的有效数字位数不能少于实验数据的有效数字位数。例如，对于直接测量的物理量，轴上最小格的标度不能大于测量仪器的最小刻度。

②标度的选择应使图线显示其特点，标度应划分得当，以不用计算就能直接读出图线上每一点的坐标为宜。故通常用1、2、5，而不选用3、7、9来标度。

③横轴和纵轴的标度可以不同，两轴的交点也可以不为零，以便调整图线的大小和位置。

④如果数据特别大或特别小，可以提出乘积因子，例如提出“×103”或“×10-2”，放在坐标轴物理量单位符号前面。

（3）曲线的标点与连线：用削尖的硬铅笔以小“+”字标在坐标纸上，标出各测量数据点的坐标，要使与各测量数据对应的坐标准确地落在小“+”字的交点上。当一张图上要画几条曲线时，每条曲线可采用不同的标记如“×”“+”“O”“△”等以示区别。连线时要用直尺或曲线板等作图工具，根据不同情况，把数据点连成直线或光滑曲线。曲线并不一定要通过所有的点，而要求画一条有代表性的光滑曲线，并且要求曲线两旁偏差点有较均匀的分布。在画曲线时，发现个别偏离过大的数据点，应当舍去并进行分析或重新测量核对。校准曲线要通过校准点，连成折线。

（4）标写图名：一般在图纸上部附近空白位置写出简洁完整的图名，下部标明班级、姓名和日期。所写字体，一律用仿宋体。

（5）计算斜率和截距：计算直线斜率时，一定要在所作图线上找两相距较远的新点，不能用原来的测点坐标，对新取的两点用公式计算斜率；计算截距时，是在图线上选定一点p3（x3, y3），代入y=kx+b中求得：

作图法处理数据形象直观，应用十分广泛，但也存在一定的弊端。作图具有一定的随意性，对同一组数据，不同的人会得到不同的结果，即使同一个人，先后两次作图结果也会不同，因此其误差也很难估计。另外，如果观测数据有效数字位数很高，分布范围很广，势必要求坐标纸的尺寸很大，有时甚至难以实现。

三、逐差法

逐差法又称逐差计算法，是物理实验中常用的一种处理数据的方法。一般用于等间隔线性变化测量中所得数据的处理。

在等间隔线性变化的测量中，若仍用一般求平均值的方法，将发现中间的测量值彼此抵消，只剩下第一次测量值和最后一次测量值有用，这样将失去多次测量的意义。为了保持多次测量的优越性，充分利用所有数据和减小随机误差，逐差法把实验测量数据分成两组，实行对应项测量数据相减。

在n对数据中：

求k值的公式为

在n对数据中，任何两对数据都可代入式（2）求出k值。选用数据的原则有两条，一条是所有的数据都用上，另一条是任一数据都不应重复使用。

逐差法规定，把n对数据分成两组，用第2组的一对数据作被减数，用第1组相应的一对数据作减数。例如共10对数据，则将第1～5号数据分作第1组，将第6～10号数据分作第2组，可求得系数：

k, b的最佳值为

式中，是xi数列的中值；，是yi数列的中值。

逐差法有固定的计算程序，在一定程度上避免了作图法的随意性，计算简便、迅速，因而获得了广泛的应用。它的缺点是若数据分组不同，计算结果也不相同，对于怎样分组才最合理，也缺乏理论分析。

四、最小二乘法

用数学解析的方法，从一组实验数据中找出一条最佳拟合曲线（即寻求一个误差最小的实验方程），称为方程的回归。回归法中最常用的数学方法是最小二乘法，在此仅讨论实验中常用的一元线性回归，即直线拟合问题。

最小二乘法的原理是：若能找到一条最佳的拟合曲线，那么每个测量值与这条拟合曲线上对应点之差的平方和最小。

设已知函数的形式为

y=ax+b

式中，自变量只有x一个，故称一元线性回归。实验得到的一组数据为

x=x1, x2, …, xi

y=y1, y2, …, yi

如果实验没有误差，把（x1,y1）、（x2,y2）、…、（xi,yi）代入函数式时，方程左右两边应该相等。但实际上，测量总存在误差，我们把这归结为y的测量偏差，并记作ε1,ε2, …,εi，这样，公式就应改写成

这样做的目的是利用方程组来确定未定参量a和b，同时希望总的偏差ε为最小。根据误差理论可以推证：要满足以上要求，必须使各偏差的平方和为最小，即。故称最小二乘法。把各式平方相加，得，求的最小值时，将上式对a和b求偏微分得到两个式子并令它们等于零，解出a和b。因此可以得到：

（1）回归直线的斜率和截距的最佳估计值。

（2）各参量的标准误差。

测量值偏差的标准误差为

式中，k为测量次数，n为未知量个数。

a值的标准误差为

b值的标准误差为

（3）检验。

在待定参量确定以后，还要算一下相关系数。对于一元线性回归，定义为

γ值总是在0与±1之间。|γ|值越接近1，说明实验数据越符合求得的直线，或说明用线性函数进行回归比较合理。相反，如果|γ|值远小于1而接近于0，说明用线性函数回归不妥，x与y完全不相关，必须用其他函数重新试探。γ＞0，回归直线的斜率为正，称为正相关；γ＜0，回归直线的斜率为负，称为负相关。

a、b和γ的一般求法：

①用计算机Excel程序。

②用计算机Origin软件或MATLAB软件。

③可以根据实际情况自己编程。

提示：用最小二乘法处理前，一定要先用作图法，以剔除异常数据。

复习题

一、思考并回答

1．测量后计算不确定度有什么意义？

2．测量为什么要重复测？重复测量有什么好处？

3．单次测量怎样估计不确定度？

4．以下所列的误差哪些属于随机误差，哪些属于系统误差？

（1）米尺因低温而收缩；

（2）未通电时，电压表的指针不指零；

（3）手按停表测时间控制不准；

（4）两个人在一个温度上的读数不一样；

（5）在任何计算中π取3.14；

（6）水银温度计毛细管不均匀；

（7）电表的接入误差；

（8）螺旋测微器零点不准。

5．两次测量所得的测量值完全相同，是否没有误差呢？

6．为什么取多次测量的算术平均值为最后结果的最佳估计值？

二、计算题

1．以毫米（mm）为单位表示下列各值。

1．58m 0.01m 2cm 3.0cm 2.58km。

2．有甲、乙、丙、丁4人，用螺旋测微器测量一铜球的直径，各人所测得的结果分别是：甲：（1.2832±0.001）mm；乙：（1.283±0.001）mm；丙：（1.28±0.001）mm；丁：（1.3±0.001）mm。问哪个人表示得正确？其他人错在哪里？

3．按有效数字运算规则，列出下列各式之值。

（1）343.37 + 75.8 + 0.6386；

（2）88.45-8.180-76.543；

（3）0.0725×2.5；

（4）（8.42 + 0.052-0.47）÷2.001。

4．把下列各数取三位有效数字。

①1.0750; ②0.86249; ③27.053; ④7.921×10-6; ⑤2.1615;⑥0.0030050。

5．下列数值改用有效数字的标准式来表示。

（1）光速=（299792458±100）米/秒；

（2）热功当量=（4.18300±0.004）焦耳/卡；

（3）比热C=（0.001730±0.0005）卡/（克·度）；

（4）电子的电荷=1.6021×10-19库仑，准确到0.1%。

6．计算下面的测量结果：

7．用电子秒表测量一时间t为20.12s、20.19s、20.11s、20.23s、20.20s、20.15s。秒表的最小分度值为0.01s，求时间t，并写出正确的结果表达式。

8．用量程为125mm的游标卡尺测量一钢珠直径10次，已知仪器最小分度值为0.02mm，仪器的最大允差Δ仪=0.02mm，测量数据如表1.3.1所示。

求测量列的平均值、标准差σ和测量列的A、B类不确定度分量及合成不确定度。

9．写出下列函数的不确定度表示式。

（1）N=x+y-2z；（2），其中k为常数；（3）；（4）。

10．一物体作匀速直线运动，观察运动距离s，结果如表1.3.2所示。

（1）用作图法算出物体的运动速率；

（2）用逐差法求物体的运动速率；

（3）用最小二乘法求物体的运动速率。

[附录] 常用函数式的不确定度传递公式