第1章　同余数概论
（第1～12条）

第1节　同余的数，模，剩余和非剩余

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假如数b和数c之差能够被数a整除，则称b和c对于a同余；反之则称b和c对于a不同余。我们将数a叫做模。如果b和c同余，则b和c互为对方的剩余，如果不同余，则称其互为非剩余。

这里的数必须是正整数或者负整数^[1]，而不是分数。例如，-9和16对于模5同余；-7对于模11是15的剩余，但对于模3是15的非剩余。

因为0能被任何数整除，所以对于任何模来说每个数都与其自身同余。

2

给定数a，它对于模m的所有剩余都在式a＋km中，其中k是任意整数。由此可以推导出下文给出的显而易见的定理，对这些定理做直接证明是很容易的。

从现在起用符号“≡”来表示同余，必要时可以在后面加上圆括号并写出模；例如，-7≡15（mod 11），-16≡9（mod 5）^[2]。

3

定理

给定m个连续整数a，a＋1，a＋2，…，a＋m-1和另一个整数A；那么对于模m，这些整数中有且仅有一个数与A同余。

如果是整数，则a≡A；如果是正分数，则假定k是最接近它且大于它的正整数（或者如果此分数为负分数，则k是最接近它，且绝对值小于它的绝对值的整数）。这时，A＋km将处于a和a＋m之间，这就是要求的数。显然，所有的商…，均处于k-1和k＋1之间，所以它们中的整数不可能多于一个。