第8节　不同系统的指标间的关系

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现在回来讨论我们所谓的原根。我们已经证明，如果取任意一个原根作为基数，那么，所有的指标与p-1互质的数也是原根，并且除了这些之外没有其他的原根，我们就同时知道了原根的个数（条目53）。一般地，选择哪个原根作为基数可以由我们自己说了算。这里正如对数运算一样，可以有很多不同的系统^[2]。我们来看一下这些系统之间有什么样的联系。令a，b为两个原根，m是另外一个数。当取a作为基数时，假设b的指标同余于β，数m的指标同余于μ（mod p-1）。但当取b作为基数时，假设a的指标同余于α，数m的指标同余于v（mod p-1）。现在，aβ≡b，且aαβ≡bα≡a（mod p）（通过假设），所以αβ≡1（mod p-1）。通过类似的过程，我们求得v≡αμ，且μ≡βv（mod p-1）。因此，如果我们有一张基数为a的指标表，可以方便地将它转换成另一张基数为b的指标表。因为，如果基数为a，b的指标同余于β，基数为b，a的指标就同余于（mod p-1），并且将这个数乘以这张表中的所有指标，就得到了基数为b的所有的指标。

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尽管一个给定的数因不同的原根作为基数会产生不同的指标，但它们都有一个共同点——每个指标和p-1的最大公约数都是一样的。因为，如果给定的数以a为基数的指标是m，以b为基数的指标是n，并且我们假设这两个数与p-1的最大公约数分别是不相等的μ，v，那么，其中一个必定大于另一个。例如，μ＞v，因而μ就不能整除n。现在，假设b是基数，令α为数a的指标，我们就有（参考上一条目）n≡αm（mod p-1），因此，μ能够整除n，这与假设矛盾。证明完毕。

我们还可以观察到，一个给定的数的指标和p-1的最大公约数不取决于原根，因为这个最大公约数等于（p-1）/t。这里的t是这个数所属的指数。因为，如果任何基数的指标是k，则t就是这样的最小整除（0除外），使得它和k的乘积是p-1的倍数（参考条目48，58），也就是表达式0/k（mod p-1）的最小值（0除外）。从条目29不难推出，t等于数k和p-1的最大公约数。

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总是可以取到这样的基数，使得属于指数t的数对这个基数的指标是任意指定的这样一个数，只要它与p-1的最大公约数等于（p-1）/t。我们用d表示这个除数，令指定的指标同余于dm，并且当取某个原根a为基数时，令所给数的指标同余于dn；m和n就与（p-1）/d即t互质。那么，如果ε是表达式dn/dm（mod p-1）的一个值，并且它同时与p-1互质，aε就是一个原根。以这个原根为基数，那么所给的数就有我们想要的指标dm（因为，aεdm≡adn≡所给的数）。为了证明表达式dn/dm（mod p-1）有与p-1互质的值，我们按照如下方式进行。这个表达式等价于n/m［mod（p-1）/d］，或者等价于n/m（mod t）（参考条目31性质2），并且它的所有值都与t互质；因为，如果任何值e与t有公约数，这个除数一定也能整除me，因而也能整除n，因为me相对于模t同余于n。但是这与假设相矛盾，因为假设要求n与t互质。因此，当所有p-1的质因数都整除t，那么表达式n/m（mod t）的所有值都与p-1互质，并且这些值的个数为d。但是，当p-1还有不能整除t的质除数f，g，h，…，那么，取表达式n/m（mod t）的一个值同余于e。但是，因为所有的数t，f，g，h，…，都是两两互质的数，那么能够找到这样的数ε相对于模t同余于e，并且，对于模f，g，h，…分别同余于任意与相应的模互质的数（参考条目32）。这样一个数一定不能被p-1的任一质因数整除，因而与p-1互质，这正是我们要求的。最后，从组合理论不难推出这样的值的个数就等于

但为了不至于离题太远，这里就省去了证明。对于本书的目的来说，这是没有必要深入探讨的。