第6节　指标的运算

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关于指标的定理与关于对数的定理是完全相似的。

任意多个因数的乘积的指标对于模p-1与各个因数的指标的和同余。

一个数的方幂的指标对于模p-1与这个数的指标与幂指数的乘积同余。

因为上述定理比较简单，这里省去对它们的证明。

从上文可知，如果要构造出这样一张表，表中给出所有的数对于不同的模的指标，可以忽略所有比模大的数以及所有的合数。本书结尾给出了一张样表（表1）。此表第1列是从3到97的所有质数以及质数幂，这些数将作为模；在下一列，和这些数相邻的，是那些被选作为基数的数；接下来是连续质数的指标。在每一列第1排，这些质数按照同样的顺序排列，这样便于找到对应一个给定质数关于给定模的指标。

例如，如果p＝67，基数为12，Ind 60≡2Ind 2＋Ind 3＋Ind 5（mod 66）≡58＋9＋39≡40。

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如果a，b都不能被p整除，形如a/b（mod p）的表达式的值（参考条目31）的指标对于模p-1同余于分子a的指标与分母b的指标的差。

令c是表达式的任意一个值，则bc≡a（mod p），所以

Ind b＋Ind c≡Ind a（mod p-1）

以及

Ind c≡Ind a-Ind b

那么，如果有两张表，其中一张表给出任意整数对于任意质数模的指标，另一张表给出属于给定指标的整数，那么，所有的一次同余方程都能轻易解出，因为它们能简化为模为质数的同余方程（条目30）。例如，给定同余方程29x＋7≡0（mod 47），简化为x≡（-7）/29（mod 47）。从而有Ind x≡Ind（-7）-Ind 29≡Ind 40-Ind 29≡15-43≡18（mod 46）。现在3的指标是18，所以x≡3（mod 47）。我们还没有给出第2张表，但到了第6章我们给出另一张表，可以实现相同的作用。