第五章　相交线和平行线

第一节　相交线

学习目标

1. 理解并掌握邻补角及对顶角的概念和性质，能根据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算.

2. 理解垂线的概念，会过一点画已知直线的垂线. 理解并掌握垂线段的意义和点到直线的距离的概念.

3. 在两条直线被第三条直线所截时，认识同位角、内错角、同旁内角.

知识精讲

1. 邻补角、对顶角的概念.

（1）如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫作互为邻补角.

（2）如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么具有这种位置关系的两个角叫作对顶角.

如图5-1-1所示，直线AB与CD相交于点O，其中∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC是对顶角；∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC.

注：① 互为邻补角的两个角具备的条件：一是有一条边为公共边；二是另一条边互为反向延长线.

② 互为对顶角的两个角具备的条件：一是有公共顶点；二是两个角的两边互为反向延长线. 互为对顶角的两个角也可以说成：两直线相交，不相邻的两个角互为对顶角.

③ 邻补角、对顶角成对出现，在两条相交直线所成的角中，一个角的邻补角有两个，一个角的对顶角只有一个.

2. 对顶角、邻补角的性质.

（1）对顶角相等.

（2）邻补角互补.

注：① 对顶角相等，相等的两个角不一定是对顶角.

② 邻补角互补，互补的角不一定是邻补角.

3. 垂线.

（1）概念. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.

注：垂直与垂线不同，垂直是指两直线的位置关系，而垂线是指两直线垂直时，其中一条叫另一条的垂线. 两者也有联系，只有在垂直的情况下才会有垂线.

（2）垂线的画法.

① 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上.

② 二移：移动三角尺，使已知点落在它的另一条直角边上.

③ 三画：沿着这条直角边画直线.

注：① 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线.

② 过一点作线段的垂线，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上.

（3）垂线的性质.

性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

注：性质2是今后说明线路最短问题的一个重要依据.

4. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

注：距离是指垂线段的长度，是一个数量；垂线段是图形，它们之间不能等同.

5. 同位角、内错角、同旁内角，其位置特征与基本图形如表5-1-1所示.

注：① 抓住两角有“共线边”来理解同位角、内错角或同旁内角.

② 这三种角揭示的仅仅是两角的位置关系，并无大小关系. 同位角形状像字母“F”，内错角形状像字母“Z”，同旁内角形状像字母“U”. 这三类角都是没有公共顶点的角.

方法提炼

1. 邻补角和对顶角的性质揭示的都是两角的数量关系，不但在角度的运算中应用非常广泛，而且也是今后证明两角相等的重要依据.

2. 垂线的定义既可作为垂线的性质，又可作为垂线的判定.

3. 遇到几何图形求面积通常考虑作垂线.

4. 实际问题中涉及路线最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”中去选择.

典例精析

例题1. 如图5-1-2所示，若∠1∶∠2=2∶7，求各角的度数.

【思路点拨】利用邻补角定义和对顶角性质求各角度数. 题目中出现比的条件，可以考虑设参数的方法，这是解决比的问题的一种常用的方法.

【解】设∠1=2x°，则∠2=7x°，

∵∠1+∠2=180°，∴2x+7x=180°.∴x=20.∴∠1=40°，∠2=140°.

∵∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=40°，∠4=140°.

例题2. （1）直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，且PA=2cm，PB=3cm，PC=5cm，那么点P到直线l的距离（　）.

A. 等于2cm

B. 小于2cm

C. 小于或等于2cm

D. 大于2cm且小于3cm

（2）如图5-1-3所示，∠1=53°，∠2=37°，CD与CE的位置关系是______.

【思路点拨】（1）点P到直线l的距离是从点P到直线l的垂线段的长度，根据“垂线段最短”，若PA⊥l，则距离为2cm；若PA不垂直于l，则距离小于2cm.

（2）先求出∠DCE的度数，再判定CD与CE的位置关系.

【答案】（1）C　（2）垂直

典题精练

1. （1）图中是对顶角的是（　）.

（2）如图5-1-4所示，∠1的邻补角是（　）.

A. ∠BOC

B. ∠BOC和∠AOF

C. ∠AOF

D. ∠BOE和∠AOF

2. 如图5-1-5所示，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC+∠BOC＋∠DOB=242°，则∠AOC的度数为（　）.

A. 62°

B. 118°

C. 72°

D. 59°

3. 下列说法正确的有（　）.

① 对顶角相等. ② 相等的角是对顶角. ③ 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等. ④ 邻补角互补. ⑤ 互补的角是邻补角.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4. 下列说法正确的有（　）.

① 在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

② 在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

③ 在平面内，过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线.

④ 在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线.

⑤ 连接两点间的线段叫作这两点间的距离.

⑥ 过点A作直线l的垂线段，则这条垂线段叫作点A到直线l的距离.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5. 如图5-1-6所示，BC⊥AC，AD⊥CD，AB=m，CD=n，则AC的取值范围是（　）.

A. AC＜m

B. AC＞n

C. n≤AC≤m

D. n＜AC＜m

6. 如图5-1-7所示，下列结论正确的是（　）.

A. ∠5与∠2是对顶角

B. ∠1与∠3是同位角

C. ∠2与∠3是同旁内角

D. ∠1与∠2是同旁内角

7. O为平面上一点，过点O在这个平面上引5条不同的直线l1，l2，…，l5，则最多可形成______对以O为顶点的对顶角，最多可形成______对以O为顶点的邻补角.

8. 如图5-1-8所示，村庄A和村庄B要从河流l引水入庄，需修筑一水渠，请你画出使修筑水渠的长度最短的路线图.

9. 如图5-1-9所示，三条直线AB、CD、EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE=70°，若OG平分∠BOF，求∠DOG的度数.

10. 如图5-1-10所示，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD∶∠DOE=4∶1，求∠AOF的度数.

中考真题

真题1. （江苏苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（　）.

A. 30°

B. 60°

C. 70°

D. 150°

真题2. （河南）如图5-1-11所示，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（　）.

A. 35°

B. 45°

C. 55°

D. 65°