1.4 基尔霍夫定律

电路分析的对象不是实际电路而是电路模型，又称其为集总参数电路，简称电路。电路因其构成元件性质不同，有线性、非线性，时变、非时变之分。由独立电源、线性非时变元件和受控源构成的电路称为线性非时变电路。除非特别说明，本书涉及的电路均属线性非时变电路。

在阐述基尔霍夫定律之前，首先介绍几个名词或术语。

支路：电路中一个二端元件称为一条支路。

通常，把流经元件的电流称为支路电流，把元件端电压称为支路电压。它们是电路分析的主要对象。

节点：电路中两条或两条以上支路的连结点称为节点。图1-24所示电路共有6条支路、4个节点。注意b、c是同一个节点。

为了方便，也可以把几个串联元件合并在一起定义为一条支路，把几个并联元件合并在一起定义为一条支路；把3条或3条以上这样的支路的连接点定义为节点。按此定义，图1-24中只有3条支路（1-3，4-5，2-6），2个节点（bc，e）。a和d就不再是节点。

回路：电路中任一闭合路径称为回路。图1-24所示电路共有6个回路，如元件1、3、4；元件1、3、6、2均构成回路。

网孔：内部不含支路的回路称为网孔。图1-24所示电路共有3个网孔，如元件1、3、4构成的回路是网孔，而元件1、2、6、3构成的回路就不是网孔，因为内部含有元件4、5。

一般把含元件较多的电路称为网络，但实际上，电路与网络可以混用，没有严格的区别。内部包含独立电源的网络称为有源网络，否则称为无源网络。凡是可以画在一个平面上而不出现任何支路交叉现象的网络称为平面网络，否则称为非平面网络。图1-25所示网络，无论怎样改画电路图也无法避免支路的交叉，故该网络是非平面网络。非平面网络中网孔的定义是不成立的，平面网络才有网孔的定义。

电路的性能取决于本身的几何结构和元件特性，与支路在空间的位置无关。电路一经给定，各支路电压、支路电流必然受到两种约束：一是元件本身特性对本支路电压和电流的约束。如线性电阻元件的电压和电流必定满足欧姆定律，两者不能同时作自由选择，这类约束与电路结构无关，称为元件的伏安关系（VCR）约束，简称元件约束（有时也称支路VCR或支路约束）；二是元件连接方式、电路结构给各支路电流和支路电压带来的约束，这类约束与元件性质无关，称为拓扑约束。描述这类约束关系的就是基尔霍夫定律。上述两类约束关系是电路分析的基本依据。

1.4.1 基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律（KCL）又称基尔霍夫第一定律。

基尔霍夫电流定律反映了电路中任一节点各支路电流间的相互约束关系。对其表述如下：

在集总参数电路中，任一时刻流经任一节点的所有支路电流的代数和等于零。其数学表示式为

式中，ik表示第k条流出（或流入）该节点的支路电流，n1为与该节点相连接的支路数。

式（1-27）称为节点电流方程或KCL方程。在建立方程时，习惯上将参考方向离开该节点的支路电流取正号，参考方向指向该节点的支路电流取负号（亦可作相反的规定，两者是等价的）。

图1-26所示电路中，可分别列出A、B、C 3个节点的KCL方程为

对A节点　-i1+i4-i6=0

对B节点　-i2-i4+i5=0

对C节点　-i3-i5+i6=0

每个KCL方程均是线性齐次代数方程，且支路电流变量的系数为常数1、-1或0（表示某支路电流没有流入或流出该节点）。各方程反映了各个节点支路电流的线性约束关系。如A节点，若已知其中两个支路电流，则第3个支路电流随之而定，而不能再作其他的选择。

改写图1-26中节点A的KCL方程，得

i4=i1+i6

此式表明，在集总参数电路中，任一时刻、任一节点流出该节点的支路电流之和等于流入该节点的支路电流之和，即

这是基尔霍夫电流定律的另一种表示形式。

将图1-26中节点A、B、C 3个KCL方程相加，即得图示虚线封闭面的KCL方程，即

-i1-i2-i3=0

此式表明，在集总参数电路中，通过任一封闭面的支路电流的代数和为零。这是基尔霍夫电流定律的推广，这种假想的封闭面又称广义节点。

基尔霍夫电流定律的实质是电流连续性原理，是电荷守恒原理的体现。电荷既不能创造也不能消灭。在集总参数电路中，节点是理想导体的连接点，不可能积聚电荷。在任一时刻流入节点的电荷必然等于流出节点的电荷。

【例1-4】　在图1-27所示电路中，已知i1=-1A，i2=2A，i4=4A，i5=-5A，求其余所有支路电流。

解　图1-27有5个节点，应用KCL求取各支路电流。

节点a i1-i2+i3=0 i3=-i1+i2=-（-1）+2=3A

节点b -i1+i4-i6=0 i6=-i1+i4=-（-1）+4=5A

节点c i2-i4+i5-i7=0 i7=i2-i4+i5=2-4+（-5）=-7A

节点d -i3-i5-i8=0 i8=-i3-i5=-3-（-5）=2A

如果把上述4个KCL方程加起来，即得节点e的KCL方程。显然这个方程是多余的，或者说是不独立的。

在KCL方程的列写和计算过程中，要注意两类正负符号：一类是方程每项电流系数的正负号，另一类是电流自身的正负号。

【例1-5】　在图1-26所示电路中，若已知i1（t）=3+4cos2πt A，i2（t）=2-cos2πt A。试求：

（1）电流i3（t）；（2）当t=1s时，各电流的瞬时值。

解　（1） 由-i1-i2-i3=0

得i3（t）=-（3+4cos2πt）-（2-cos2πt）

=-5-3cos2πt

（2）t=1s时

i1（1）=7A

i2（1）=1A

i3（1）=-8A

1.4.2 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（KVL）又称基尔霍夫第二定律。

基尔霍夫电压定律反映了电路中任一回路各支路电压间的相互约束关系。对其表述如下：

在集总参数电路中，任一时刻沿任一回路的所有支路电压的代数和等于零。其数学表示式为

式中，uk为回路第k条支路的电压，n2为回路的支路数。式（1-29）称为回路电压方程或KVL方程。在建立方程时，首先选定一个回路的绕行方向。支路电压的参考方向与绕行方向一致时取正号，支路电压参考方向与绕行方向相反时取负号。

图1-28所示为某电路的一个回路，假设回路绕行方向为顺时针方向，则KVL方程为

式（1-30）是一个线性齐次代数方程，且支路电压变量的系数为常数1、-1或0（表示未在该回路中出现的支路电压）。方程反映了组成回路的5条支路电压的线性约束关系。若已知其中4个支路电压，则第5个支路电压随之而定，而不能再做其他选择。

改写图1-28所示回路的KVL方程，得

u1+u4+u5=u2+u3

此式表明，在集总参数电路中，任一时刻沿任一回路的支路电压降之和等于电压升之和，即

这是基尔霍夫电压定律的另一种表示形式。

在图1-28所示电路中，节点A、D间并无支路，但仍可把ADEA看成是一个回路，即

uAD+u4+u5=0

或把ABCDA看成是一个回路，即

u1-u2-u3-uAD=0

可见，基尔霍夫电压定律不仅适用于实际存在的回路，而且也适用于任意假想的回路。这是基尔霍夫电压定律的推广，这种假想的回路又称广义回路。

基尔霍夫电压定律的实质是能量守恒定律在集总参数电路中的体现。单位正电荷沿回路绕行一周，所获得的能量必须等于所失去的能量。获得能量，电位则升高；失去能量，电位则降低。所以，在回路中电位升之和必然等于电位降之和，即任意回路中各个支路电压的代数和为零。

【例1-6】　电路如图1-29所示，试求电压uab。

解　对abcdea广义回路列KVL方程，得

uab-1+5-（-2）+3=0

uab=-9V

【例1-7】　电路如图1-30所示，试求电流I1和I2。

解　列bdcb回路的KVL方程，得

Ubd-4+2=0 得 Ubd=2V

即

Ibd=1A

对acda回路列KVL方程，得

Uac+4-14=0 得 Uac=10V

则

Iac=2A

对a点列KCL方程，得

I2+Iac-3=0 得 I2=1A

对d点列KCL方程，得

-I2-Ibd-I1=0

得

I1=-1-1=-2A

在KVL方程的列写和计算过程中，也要注意两类正负号：一类是方程每项电压系数的正负号，另一类是电压自身的正负号。

最后指出，KCL和KVL确定了电路中支路电流间和支路电压间的约束关系。这种约束关系只与电路的连接方式有关，而与支路元件的性质无关。所以无论电路由什么元件组成，也无论元件是线性还是非线性，时变还是非时变的，只要是集总参数电路，基尔霍夫的这两个定律总是成立的。