第二节 测量结果的有效数字及其运算规则

任何物理量的测量既然存在着误差，在测量和运算过程中用几位数字来表示结果就不能是任意的，而必须遵循有效数字及其运算规则。

1. 有效数字的一般概念

把测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字统称为测量结果的有效数字，即有效数字的末位是可疑位。有效数字的末位虽然可疑，但它在一定程度上反映了客观实际，如测量所用仪器和测量方法等。一般说来有效数字的位数越多，测量精密度越高，如测量结果2.3560cm一定不是用米尺测量的，而可能是用螺旋测微计测得的，米尺的测量结果只能是2.35cm。可见有效数字的末位反映了测量结果的不确定度大小，因此测量结果的有效数字不能随意多写或少写。

2. 测量结果的有效数字位数的确定方法

根据有效数字的末位是可疑位的定义，测量结果的有效数字位数完全取决于合成不确定度的大小（或者说测量误差的大小），即任何测量结果的有效数字，其最后一位要与不确定度所在的那一位取齐。由于不确定度本身是一个估计的量值范围，因此其有效数字一般取一位即可。

对于直接测量，应将测量值估读到仪器分度值的十分位，或至少估读到仪器分度值的二分之一。根据单次测量结果的合成不确定度截取单次测量结果的有效数字位数。

对于多次直接测量结果和间接测量结果的有效数字，则是先通过估算其合成不确定度的数值大小，再截取测量结果的有效数字位数。

当不确定度取一位表示时，测量结果的有效数字末位应与相应的不确定度的那一位对齐；如例3中的σH=2.1×10-2mm，当σH取一位时，测量结果H=（10.75±0.03）mm。当不确定度取两位表示时，测量结果的位数也要相应地多保留一位，但此时并不表示结果的有效数字增加了一位；如例3中当σH取两位时，测量结果H=（10.752±0.021）mm。

3. 有效数字与相对误差

有效数字的最后一位是有误差的，因此，大体上可以说，有效数字位数越多相对误差就越小，有效数字位数越少相对误差越大。

一般来说，两位有效数字对应于的相对误差；三位有效数字对应于的相对误差，以此类推。因此，在进行误差分析时，有时讲误差多大，有时讲几位有效数字，它们是密切相关的。

4. 几点附加说明

① 有效数字的位数与十进制单位的变换无关。例如 1.35cm换成以毫米为单位时成了13.5mm，以米为单位时则为0.013 5m，三种表示法完全等效，都是3位有效数字。

② “0”在数字中间或后面都是有效数字，不能随意省略或添加，而表示小数点位数的“0”不是有效数字。如1.350m和1.050m都是4位有效数字，而0.00 135km是3位有效数字。

③ 当数字很大或很小而有效数字的位数较少时，一般采用10的方幂形式来表示，方幂前面的系数是有效数字，这种表达形式叫“科学表达式”。例如0.000 012km应写成1.2×10-5km，以微米为单位时则应写成1.2×104μm。它们都是两位有效数字。

④ 有效数字的计算中，多余位数应按舍入法则处理——即多余尾数小于5则舍，大于5则入，恰好等于5则看前一位，是奇数则入，是偶数则舍。这样做可使尾数的舍与入的几率相等。

例如，将下列数据舍入到小数点后第一位：

a. 2.7498→2.7

b. 2.7501→2.8

c. 2.7500→2.8

d. 2.6500→2.6

对于不确定度的舍入，一般考虑的是不要估计不足，因此对误差的多余尾数，一律进而不舍。比如例3中的σH=0.021mm则取作0.03mm。

⑤ 参与计算的常数如π、e、等，其有效数字位数可认为是无限多，一般可比其他参与运算的数值多取一位。

⑥ 为避免舍入过多而带来附加误差，在运算过程中，可多保留一位可疑数字，但在最后结果中，一般只保留一位可疑数字。

⑦ 有效数字的多或寡决定于测量条件（仪器、方法、环境等），而不决定于运算过程。因此在选择计算工具时，应使其所给出的数位不少于应有的有效数位，否则将造成测量结果精确度的降低。当然也不能通过运算工具随意扩大结果的有效数字，尤其使用电子计算器的情况下更要注意防止将运算结果毫无选择地通盘写下。

5. 有效数字的运算规则

在不需要进行误差计算的粗略运算中，为使运算结果不因计算过程中的舍入而引进不必要的“误差”，并使运算简化，有关数据的运算规则可参照如下几点进行处理：

（1）加减运算

设y=x1+x2+x3，误差分别为Δy，Δx1，Δx2，Δx3，则Δy=Δx1+Δx2+Δx3。即y的绝对误差较各个x的绝对误差中最大的还大，而绝对误差大的x值，其有效数字的最后一位必然靠前。因此规定：加减运算后的有效数字位数取至参与运算各数中最靠前出现的可疑的那一位。运算前，可先将各数的尾数按舍入法则简化至绝对误差最大的那一位数的后一位。

例如：12.94+11.0+8.2263-0.5=？

解：简化上式：12.94+11.0+8.23-0.5

运算结果为：12.94+11.0+8.23-0.5=31.7

（2）乘除运算

设y=x1×x2÷x3，误差分别为Δy，Δx1，Δx2，Δx3，则。即y的相对误差较各个x的相对误差都大，而一般情况下，相对误差大的有效数字的位数要少。因此规定：乘除运算后，结果的有效数字位数以参与运算各数中位数最少的为准。运算前，可先将各数的尾数按舍入法则简化至比位数最少的那个数多一位。

例如：32.512×4.2÷2.796=？

解：简化上式：32.5×4.2÷2.80

运算结果为：32.5×4.2÷2.80=49

（3）其他简单函数关系的运算

如高次乘方、开高次方，三角函数、对数等，则要根据误差传递公式推算出结果的绝对误差，而后确定结果的有效数字位数。简要地，还可借助查表或计算器来确定函数值的位数。

① 对数运算：自然对数y=lnx绝对误差。因此规定：某数的自然对数，其有效数字尾数与该数（即真数）的有效位数相同。如ln=5.678=7.7366；ln0.356=-1.033。

常用对数y=lgx，绝对误差。因此规定：某数的对数，其有效数字的尾数与该数（即真数）的有效位数相同或多一位。如lg6.78=0.8312；lg23.45=1.3701。

② 指数运算：对于y=ex，由于Δy=Δ(ex)·Δx，当运算后的结果写成科学表达式时，其结果的有效数字的尾数与指数x的尾数相同。如e9.24=1.03×4；e0.924=2.519；e0.00924=1.00928；e52=4×1022。

对于y=10x，由于Δy=Δ(10x)=(ln10)10x·Δx=2.3×10x·Δx，因此当运算后的结果写成科学表达式时，其结果的有效数字的尾数与指数x的尾数相同或少一位。如109.24=1.74×109；100.65=4.5。

③ 开方运算：对于，由于，因此对同一个数的不同n次方根，其有效数字的位数差异较大，要具体运算误差后再确定有效数字的位数。如：

④ 三角函数的运算：对于y1=sinx，或y2=cosx，由于Δy1=cosx·Δx，Δy2=sinx·Δx，在一般情况下都可以根据误差关系式确定y1，y2的位数（但Δx需以弧度为单位）。如sin36°42'=0.596 6；cos9°24'=0.986 57。

需要指出的是，上述规则并不是绝对不变的，也不可能包罗万象，有些情况可能不完全符合以上规则，因此不应完全机械地照搬规定，唯一的办法就是利用误差传递公式具体去推算函数值的误差并确定运算结果有效数字的位数。

⑤ 借助查表（或计算器）确定函数值位数的简要方法：当某数的有效位数已知，则可通过改变该数的末位的一个单位，观察其函数值的变化，以确定该函数值的有效位数。

例如，已知x=8°30'，求函数cos8°30'的值。

首先查出cos8°29'和cos8°31'的函数值，分别为cos8°29'=0.989 06和cos8°31'=0.988 97，故确定cos8°30'=0.989 02为5位有效数字。

又如：x=9.2456，求函数ln9.2456的值。

首先查出ln9.245 5=2.224 14和ln9.245 7=2.224 16，故确定ln9.245 6=2.224 15为6位有效数字。