1.2 n阶行列式

一、n阶行列式的定义

定义1.2.1　设有n2个可以进行加法和乘法运算的元素排成n行n列，引用符号

称为n阶行列式，它是一个算式，有时也用记号|aij|n×n表示这个n阶行列式．其中aij（i，j=1，2，…，n）称为该行列式的元素，其中第一个下标i表示该元素在第i行，第二个下标j表示该元素在第j列．在本书中，行列式的元素都是数（实数），这时行列式是一个数值，该数值可归纳定义如下：

当n=1时，一阶行列式的值定义为D1=det（a11）=a11．当n≥2时，有

其中　Aij=（-1）i+jMij，

而

并称Mij为元素aij的余子式，Aij为元素aij的代数余子式．显然Mij为一个n-1阶行列式，它是在Dn划去元素aij所在的第i行和第j列后得到的一个行列式．

由于M1j是划去Dn第一行元素a1j所在行与列的元素后得到的余子式（j=1，2，…，n），因而A1j为Dn的第一行诸元素a1j所对应的代数余子式．按这一规则求行列式的值，我们也称式（1.2.2）为行列式Dn按第一行的展开式，即行列式的值等于它的第一行诸元素与其对应的代数余子式乘积之和．

从n阶行列式定义容易看出，n阶行列式的展开式中共有n！项，每一项的形式为

其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一种排列．

定义1.2.1是基于“余子式”的一种行列式定义，下面介绍与之等价的基于“逆序数”的另一种行列式定义．先介绍逆序数的概念．

n个自然数1，2，…，n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1，i2，…，in．显然，n级排列共有n！个．其中，排列12…n称为自然排列．如果在一个n级排列i1i2…in中有is排在it的前面，但is＞it，则这一对数与自然排列的顺序相反，我们称这一对数is，it是排列i1i2…in的一个逆序．一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ（i1i2…in）．于是有

τ（12，…，n）=0，

τ（i1i2…in）=（i2前面比i2大的数的个数）+（i3前面比i3大的数的个数）+…+（in前面比in大的数的个数）．例如，

定义1.2.2　设有n2个可以进行加法和乘法运算的元素排成n行n列，引用符号

称为n阶行列式，它是一个算式，其结果定义为

它是n！项的代数和．这些项是一切可能取自于D的不同行与不同列的n个元素的乘积．项的符号为．

可以证明定义1.2.1与定义1.2.2等价，此处从略．本书全程采用基于“余子式”的行列式定义．

例1.2.1　试用行列式的定义，求行列式的值

解

例1.2.2　计算n阶行列式

解　连续使用行列式定义，有

该行列式主对角线上方的元素全为零，称之为下三角行列式（主对角线下方的元素全为零的行列式，称为上三角行列式）．

同理，上三角行列式

特别地，主对角线以外元素全为零的行列式（称为对角行列式）

同理，可以定义关于副对角线的对角行列式以及三角行列式．利用行列式的定义，关于副对角线的对角行列式以及上、下三角行列式，分别有如下结论：

二、n阶行列式的性质

一般来说，用行列式的定义计算n阶行列式是很麻烦的．为此，需要通过行列式的性质，简化行列式的计算．先介绍两个基本性质．

首先引入转置行列式的概念．

考虑n阶行列式

把D的行列互换，得到一个新行列式

称为D的转置行列式，记为DT．显然，（DT）T=D．

例如，设，则．易求得D=-14，DT=-14，即D=DT．一般地，我们有以下结论．

性质1　行列式的值与它的转置行列式的值相等．

由性质1可知，行列式的行和列具有同等的地位．因此，行列式的性质凡是对行成立的，对列同样成立，反之亦然．

性质2　交换行列式的两行（或两列），行列式改变符号，即

则D=-D1.其中，行列式D1是由行列式D交换其i、j两行得到的．

对于二阶、三阶行列式，性质1、性质2可以直接验证；对于n阶行列式，可用归纳法证明．在此证明略．

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式等于零．

证　设行列式D的第i行和第j行相同（i≠j）．由性质2，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式值为-D；但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变，因此D=-D．即D=0．

性质3　如果行列式某一行（列）的元素有公因子，则可以将公因子提到行列式外面．即

也可以说，用数k乘行列式的某一行（列），其结果就等于用数k去乘这个行列式（证明略）．

推论1　如果行列式有一行（列）元素全为零，则该行列式等于零．

推论2　如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则这个行列式等于零．

性质4　如果行列式的某一行（列）元素都可以表示为两项的和，则这个行列式可以表示为两个行列式的和，即

或者说，若两个n阶行列式中除某一行（列）之外，其余n-1行（列）对应相同，则两个行列式之和只对该行（列）对应元素相加，其余行（列）保持不变．

证　．

性质5　行列式的第i行（列）的元素的k倍加到第j行（列）的对应元素上，行列式的值不变，即

证　由性质4，上式右边的行列式可以拆分为两个行列式的和．对于这两个行列式，运用性质3的推论2，可得结论．

三、行列式的展开式

我们将用下面定理说明，行列式不仅可像降价定义那样按第一行展开，也可以按任一行或列展开．

定理1.2.1　行列式可按任意一行（列）展开，其展开式为

或　

称为行列式按行（列）展开法则．

证　将行列式D中第i行依次与位于它上方的相邻行对换i-1次，调到第1行，再按降阶定义展开，得

定理1.2.2　行列式的某一行（列）的元素与另外一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．即

或　

证　i≠j时，有

所以ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0（i≠j）．

综合定理1.2.1和定理1.2.2，有

或　

我们可以利用行列式的上述性质，来简化行列式的计算．下面将通过一些典型的例题，介绍行列式计算的一些常用方法．

四、n阶行列式的计算

例1.2.3　计算行列式

解　利用性质5，第3行乘以-5和-6加到第二行和第四行，得

再利用性质3，第二行和第四行分别提取公因子-4和-5，有

此时，行列式的第二行和第四行对应位置的元素相同，由性质2之推论，D=0．

例1.2.4　计算行列式

解　可以看出，该行列式每一列四个元素之和都等于3a+b．连续利用性质5，将二、三、四行逐一加到第一行上去，有

再把行列式的第一行乘以（-a）分别加到其余各行，得

例1.2.5　证明

证　由性质4，有

再由性质2及其推论，得

例1.2.6　计算行列式

解　首先，按照行列式的性质5，将第一行分别乘以-2，-1加到第二和第四行，将第一列的元素除a11=1以外，都变为0，得到

由性质2及其推论，按第一列展开，有

例1.2.7　计算行列式

解　将行列式按第一列展开得

上面两个行列式分别为n-1阶上三角行列式和n-1阶下三角行列式，故

Dn=x.xn-1+（-1）n+1y.yn-1=xn+（-1）n+1yn．

例1.2.8　计算行列式

解　行列式按第n行展开，有

Dn=xDn-1+（-1）n+1.an.（-1）n-1=xDn-1+an，

从而，递推得到

Dn-1=xDn-2+（-1）n·an-1·（-1）n-2=xDn-2+an-1

Dn-2=xDn-3+an-2，

……

D₂=a1x+a2．

从而

Dn=a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an．

例1.2.9　证明n阶范德蒙（Vandermonde）行列式

其中，“∏”是连乘积符号，表示对所有满足1≤j＜i≤n的项（ai-aj）的连乘积，即

证　用数学归纳法证明．

当n=2时，，结论成立；

假设结论对n-1阶行列式成立，下面证明对于n阶行列式也成立．

从Dn的最后一行开始，自下而上，依次将上一行的（-a1）倍加到下一行，得

再按第一列展开，得

上式的右端是n-1阶范德蒙行列式，由归纳假定，得

习题1-2

1. 用定义计算行列式．

2. 下列每个等式描述了行列式的一个性质，说出这些性质．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

3. 计算下面行列式，其中．

4. 利用行列式的性质化下列行列式为上三角形行列式．

5. 利用展开定理按第一列计算行列式（1）（2），选择计算量最小的行或列进行展开计算（3）（4）．

6. 计算行列式．