第一节　中国古代几何概念的形成

一、致用的造物形式

在原始社会里，人类通过生产与生活的活动，认识到他们猎物的形状、大小，记住它们的居住地与打猎地之间的距离，以及打猎地与居住地在哪个方位，从而积累了许多有关物体的形状、大小和相互之间的位置关系的知识。人类为了生存，最初是从石器的打制开始。石器工具从粗到细，由无规则到有规则的转变过程中，对诸如对称、光洁、几何构形等造型变化逐渐明晰起来，意味着人发展着对形的认识和追求的过程。人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识越来越丰富，逐渐积累起较为丰富的几何学知识。

这些几何知识为有目的的造物提供了形态基础。新石器时期，其突出特征是以磨制石器取代打制石器，成为生产工具发展史上的一个巨大进步。石器工具的设计最初内容却是为了人类的生存方式对自然之物进行加工，有了人工的痕迹。当人类发明了火，为了生活之需，将黏土烧造成陶质的器具，对自然之物进行了化学改变而创造的人工之物，遂有了实用的陶器序列，也就产生了陶器的各种形态设计。当时普遍使用的陶器主要有贮存器、炊器、食器和汲水器等几个大类。

以最初二足器为例，是中国古代具有特色的器皿形态，又可分为空心三足和实心二足两类。在仰韶文化时期，即新石器时代早期的最后一个阶段，已经出现了实心三足烹饪器。宋代沈括在《梦溪笔谈》中谈到：“古鼎中有三足皆空，中可容物者，所谓鬲也。”这种古代炊具的设计是为了使用方便和放置平稳，底部为了烧火面积均匀，呈球形。先秦时期各种足器最为繁盛，汉以后逐渐衰落，只有鼎，间或存在下来。尖底器的设计是最有代表性的几何造型，不仅实用，而且美观。尖底器的瓶口似杯形，尖底圆腹呈橄榄形，腹部中间两侧有竖耳可系绳，是仰韶文化典型的汲水器，这种尖底瓶巧妙地运用了力学的原理，以解决汲水难的问题。

最大宗的陶器，常见的有罐、盆等。也有特殊用途的形态，如连体陶器，指两件或三件或更多的器形连为一体而构成的一种陶器形制。

从最直接的生活实际需求出发而设计的生活用品，新颖巧妙，讲求实效，抽象且更具美感。从器物的造型来看，作为一种三维空间艺术，几何体是它的基本形态。从陶器到青铜器，其造型特点多为球形、半球形、柱形、矩形等，还有各种基本的几何形态元素，如方、圆、柱等，各自具有相应的语境内涵，即方表示端庄、圆表示圆满、柱表示挺拔等。工匠们运用最早的符号学知识即抽象的造型来表达器物的意义，从本质上讲，体现的是物以致用为本的造物思想，而对立体几何形态的认识，也盖源于此。仰韶文化半坡类型的陶器以卷唇盆和圆底的盆、钵及小口细颈大腹壶、直口鼓腹尖底瓶为典型器物，造型比较单纯；马家窑文化类型的器形仍以盆、钵、罐、壶为主，尖底器已基本消失。

半山类型的器形有短颈广肩鼓腹罐、单把壶、敛口钵、敞口平底小碗等。马厂类型的器形还出现了单耳筒形杯，耳、纽的造型富有变化。虽然器物上辅以丰富的装饰图案，以表达其精神意义，但从研究的成果上看，仰韶文化等类型的几何纹样在制作时都是直接在陶器上涂绘，而龙山文化陶器的几何纹样多使用工具进行制作，多种装饰手法的应用使原本简单的纹样别具风格。

二、陶器上的几何纹

中国古代的几何作图，其起源可以追溯到新石器时代，在这一时期几何作图广泛应用于陶器上。恩格斯曾指出：“和数的概念一样，形的概念也完全是从外部世界得来的，而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的。必须先存在具有一定形状的物体，把这些形状加以比较，然后才能构成形的概念。”2自然和社会是一切图形设计的源泉，几何纹样也不例外。张抒在所著的《中国几何形装饰》一书中也曾提到：几何纹样的产生来源有两种，一种是受到了编织和纺织的影响；二是由现实中动物等具象的形态逐渐演变、简化而成的几何形。3因此，抽象的几何纹样，在一般意义上都是对原来事物的抽象性表现。而这种抽象性的表现往往也蕴含了原有事物的内涵，且形式符号越是简约，内容就越广博。起初最早出现的有编织纹、网纹与条纹，极有可能与烧陶的工艺有关。这些图案显示了古代工匠对世界的认识，他们接受了世界具有几何式特征的观点。从最开始捕捉的自然形到最后幻化成的几何形，既是生活与自然的完美结合，又是人类抽象化思维的一种再现。当时的几何作图水平已经能熟练地使用点、线、圆、弧线等，并创造了三角形、四边形、圆形等作图规则，解决了作图工具问题，至少规、矩已经被发明，能够做圆和规则的三角形、四边形，同时能够准确的等分圆。勾绘的旋涡纹的线条也极为流畅，形式感强，想象力极其丰富。为什么几何纹样在原始社会被得到如此广泛的应用呢？因为几何形纹样是最富有变化、最易制作、适应性最强，同时又能取得较好艺术效果的一种装饰纹样，从造型的角度看，几何纹样在构成和应用上的诸多优点，使之成为器物装饰的重要形式。

距今7000多年左右的新石器时代，被认为是陶器纹饰的转变时期，陶器上纹饰由生动的动植物图案逐渐转化为抽象的几何纹。包括：条纹、圆点纹、三角纹、波折纹、垂帐纹、旋涡纹、花瓣纹、目纹、齿纹、回纹以及纹样化的鸟纹、鱼纹、人纹等纹样。关于这些几何纹的含义、起因和来源，考古界、美术界存有争议。一种观点认为，这些几何纹样体现了原始人们由实用观念转向审美观念。陶器在制作过程中，一些手工刻划纹、拉坯形成的弦纹、几何图案的拍印纹、捆扎的粗绳纹等在陶器表面留下的“痕迹”，是几何纹的萌芽。叶脉纹是树叶脉纹的模拟，水波纹是水波的形象化，云雷纹导源于流水的漩涡。于是陶器纹饰逐渐规整化、图案化。由于装饰的需要，使抽象的几何纹反映了原始人审美观念已经从实用中分离、凝练出来。另一种观点认为，几何印纹陶纹饰来源于生活，但更多的几何印纹同部族图腾的崇拜有关。南方的许多几何形图案就与古越族蛇图腾的崇拜有关，如旋涡纹似蛇的盘曲状、水波纹似蛇的爬行状等。新石器时代的图案纹饰多取自动植物形象中富有特征的局部进行构形，大多在定型后成为纹饰的母体，再进行变形、夸张、演化出各种各样、千变万化的几何图案纹饰。如半坡类型彩陶上的鱼纹装饰经历了一个从比较具象逐步到半具象半装饰化再到完全抽象的几何图案的演化过程；庙底沟型彩陶，由半坡的直线发展为活泼流畅的曲线，直线与曲线相结合，在器物的腹部形成一条连贯的装饰带；马家窑类型的彩陶上，大都描绘有水波纹、旋转纹图案。其中，从生活与自然中提炼概括出来的螺旋形纹饰是由鸟纹变化而来的，而波浪形的曲线纹则是由蛙纹演变而来的。这些都高度体现了陶器文化发展的水平。美学家李泽厚先生在《美的历程》第一章中，引用了一些图片，说明几何纹是由鱼、鸟、蛙等具体的动物形象演变而来的，是由写实变成抽象线条的。这是因为原始人类在生产活动中对自然秩序、形式规律已经有某种感受、熟悉和掌握的缘故。4这正是一个从写实到抽象，从内容到形式的积淀过程，也是美作为“有意味的形式”的原始形成过程。

新石器时代的几何形纹样对于均衡、反复、节奏、韵律等形式美法则的运用已经相当成熟，也就是说，通过劳动生产，人赋予特质世界以形式，尽管这些形式（秩序、规律）本是外界拥有的，但却是通过人主动把握“抽离”作用于物质对象，才具有本体的意义的。即使在今天，人们在研究纹样学的时候，所作的归纳也不过如此。但也有学者持不同的看法，认为不恰当的采用文化人类学的研究方法去释读象生性动物纹演变为几何纹饰的寓意或内涵表达，理据不足。而通过考古学家和其他一些相关学者的研究，已经认识到以彩陶纹饰为代表的中国史前纹饰与中国史前人类的精神文化密切相关，当然这也意味着它们与中国史前史和传说历史乃至与整个中国古代历史文化有着重要关系。因此，彩陶纹饰释读乃至整个中国史前文化研究，都需要新思路、新思维，需要跳出既往的解释和观念框架以及习惯思维。5

观点虽然不同，但人类社会在最原始的生产和创造、使用工具的过程中，逐渐对节奏、对称、均衡、间隔、重叠、单复、粗细、疏密、反复、交叉、错综、一致、变化、统一等自然规律性和秩序性的掌握、运用，可以理解为是最早形式美感积淀的产物。其中虽已包含着朦胧的理解、想象和意向，但它首先却表现为一种感知状态，表现为一种感觉、知觉，可说是人类精神世界的史前史，这对于我们理解现代工业社会所积淀的抽象美和几何造型是有理论意义的。

三、几何数学

勾股定理，是“几何学的基石”，被称为“人类最伟大的十个科学发现之一”。

所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所发现和研究。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家。在古代，数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。公元前1000多年前，中国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头，记载了一段周公向商高请教数学知识的对话，昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”6这是对勾股定理最早的描述。因此，勾股定理在中国数学史上又称为“商高定理”。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。据史书记载，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。数学家吴文俊先生认为：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……17世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”7

古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯500年后发现并论证了这个定理，因此，世界上许多国家又称勾股定理为“毕达哥拉斯定理”。

几何学，作为描述空间或形态的工具，几乎统治着自然界的一切。它无处不在，无时不有，用它神奇的工具测量宇宙间所有的东西，使自然界的万事万物都有一定的规律可寻。

可以说，几何学在用数学语言来描述形态或空间的同时，也反映了数学家观察形态和空间的角度或对形态认识的观念。