3.1.3 直流电机的基本方程
直流电机的运行情况可以用基本方程（即电端口的电压方程和机械端口的转矩方程）来研究。下面导出稳态运行时直流电机的电压方程和转矩方程。
1.电压方程
（1）他励直流电机
他励时，励磁电流由其他电源单独供电，故电枢电流Ia即为线路电流I，即
Ia=I （3.14）
对于励磁回路，若励磁绕组上所加电压为Uf，励磁回路的电阻为Rf，励磁电流为If，则有
Uf=IfRf （3.15）
对于电枢回路，若电机为发电机，电机向负载供电，则电枢绕组内的感应电动势Ea必定大于端电压U。采用发电机惯例，以输出电流作为电枢电流的正方向，如图3.18（a）所示。若电枢绕组的电阻为R，正、负一对电刷上的接触电压降为2ΔUs，根据基尔霍夫第二定律可知
Ea=U+IaR+2ΔUs （3.16）
上式亦可以改写成
Ea=U+IaRa （3.17）
式中，Ra为电枢回路的总电阻，包括电枢绕组的电阻，电刷的接触电阻；若电机装有换向极绕组，则其电阻亦应包括在内（换向极绕组通常与电枢串联）。
若电机为电动机，则端电压必定大于电枢绕组内的感应电动势Ea。采用电动机惯例，以输入电流作为电枢电流的正方向，如图3.28（b）所示，根据基尔霍夫第二定律有
U=Ea+IaR+2ΔUs=Ea+IaRa （3.18）
图3.18（a）和（b）分别表示与式（3.16）和式（3.17）相对应的稳态电路图。
图3.18 直流电机的稳态电路图
（2）并励直流电机
并励时，励磁回路和电枢回路的电压方程仍与他励时相同，但须加以下几个约束：由于励磁绕组与电枢并联故有
Uf=U （3.19）
对于并励发电机，励磁电流由电枢供电，所以
Ia=I+If （3.20）
对于并励电动机，励磁和电枢电流均由电源供给，故有
I=If+Ia （3.21）
（3）串励直流电机
若电机为串励，励磁绕组与电枢绕组相串联，故有
Ia=If=I （3.22）
式中，If为串励绕组中的励磁电流。
2.转矩方程
如图3.19所示，若转子为逆时针旋转，则N极下电枢导体中的感应电动势为流出的方向，S极下导体中的感应电动势则为流入方向。对于直流发电机，电枢电流与电枢感应电动势为同一方向，于是N极下导体中的电流将为流出（☉），S极下导体则为流入（
），因此电枢上将收到一个顺时针方向的电磁转矩。这说明，在发电机情况下，电磁转矩是一个制动转矩。若T1为原动机的驱动转矩，T0为电机本身的机械阻力转矩，则发电机的转矩方程应为
T1=T0+Te （3.23）
相应示意图如图3.19（a）所示。
图3.19 直流电机的电磁转矩和外施转矩
对于直流电动机，由于电枢电流与感应电动势反向，故电枢逆时针方向旋转时，N极下导体中的电流将为流入（
），S极下则为流出（☉），如图3.19（b）所示，于是电枢上将受到一个逆时针方向的电磁转矩。这说明，电动机的电磁转矩是一个驱动转矩。所以电动机的转矩方程为
Te=T0+T2 （3.24）
式中，T2为电动机轴上的负载转矩。图3.19（b）表示与式（3.24）相应的示意图。
3.电磁功率和功率方程
（1）电磁功率
下面采用电动机惯例来分析。
先看励磁回路：励磁绕组的输入功率Pf为
这说明励磁绕组的输入功率全部变为励磁绕组内的电阻损耗，励磁绕组与机械系统之间没有能量转换。
再看电枢回路，根据式（3.18），电枢输入功率是
式中， 
为电枢回路的铜耗；EaIa称为电磁功率Pe。不难证明，就数值而言：
对于电动机，EaIa为电枢中的感应电动势所吸收的电功率，TeΩ为电动机的电磁转矩对机械负载所做的机械功率，由于能量不灭，两者相等。对于发电机，TeΩ为原动机克服电磁转矩而输入给电机的机械功率，EaIa为电枢发出的电功率，两者亦相等。所以，无论是发电机还是电动机，在直流电机中，电磁功率就是能量转换中电能转换为机械能或相反转换的转换功率。式（3.27）说明，能量转换发生在电枢电路和机械系统之间，而转换功率（电磁功率）的大小则与励磁电流的大小（即耦合场的强弱）有关。图3.20所示为直流电机内能量转换的表象图。
（2）功率方程
如图3.21所示的并励直流电机为例，说明直流电机的功率方程。先讨论电动机的情况。
图3.20 直流电机内的能量转换
图3.21 并励直流电机的接线图［下标（G）表示发电机，（M）表示电动机]
从图3.21可知，对于并励电动机，Uf=U，线路电流I=If+Ia。根据电压方程可知
即
P1=pCuf+pCua+Pe （3.28）
式（3.28）中，P1为从线路输入的总电功率，P1=UI；pCuf为励磁铜耗，
；pCua为电枢回路的总铜耗，
；Pe为电磁功率。
根据转矩方程可知
TeΩ=T0Ω+T2Ω
故电磁功率：
Pe=p0+P2 （3.29）
式（3.29）中，p0为克服机械耗pΩ和铁耗pFe所需的功率，p0=T0Ω；P2为电动机输出的机械功率，P2=T2Ω。
对于并励发电机，考虑到T1=T0+Te和Ia=If+I，同理可推得
P1=p0+Pe （3.30）
而
Pe=pCuf+pCua+P2 （3.31）
式中，P1为原动机输入给发电机的机械功率；P2为发电机端点输出的电功率。
与式（3.28）、式（3.29）、式（3.30）和式（3.31）相应的电动机和发电机的功率图如图3.22所示，图中还进一步计入了杂散损耗Δp。
图3.22 并励直流电机的功率图