![试验设计与数据处理](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/864/31729864/b_31729864.jpg)
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3.4 平均值与标准差的基本性质
性质1 对子样的每一个值同乘以一常数a,由此得到的平均值或标准差要相应地除以这个常数a,才是原子样的平均值或标准差。
对性质1的证明如下:
设
因为
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054001.jpg?sign=1734453109-SA4CnNDZzCHdytdmgqjcRzl7yJRg1Cde-0-b99f76f5afb26be523d912fbcc977aa9)
所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054002.jpg?sign=1734453109-IC6PaK2yY9dly451qazilSUN9DD63VcB-0-ce3e93e1cf0cf32e64b2f73a9faf9b25)
因为
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054003.jpg?sign=1734453109-loZYwy1ZjW58Tz0BXRgbzezJbtbOrwAJ-0-58d9c8f64e2c054ac86f41bcf379b36a)
所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054004.jpg?sign=1734453109-J6Zl9qNwZHua2neonHDkKji7kpsrRZzc-0-4f92e5ffb1a14cea223d02c665925455)
性质2 对子样的每一个值同加一个常数b,由此得到的标准差与原子样的标准差相同,而得到的平均值要减去这个常数b,才是原子样的平均值。
对性质2的证明如下:
设
因为
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054005.jpg?sign=1734453109-DbarnYBPqSerzuWVwFSZdCj8FCPNjMek-0-1adc23bcb2996a904f3e111d1f4feacf)
所以
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054006.jpg?sign=1734453109-Zz4UkVcBhYiGsq6druIo9ExZHONyBQoc-0-e50cbc997691de9056fe4915f3292fc5)
因为
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054007.jpg?sign=1734453109-VrYcvZkijgCYrQ1TegLeGTRzawZnizgj-0-2c19c7addb39c1fc3880659a26315acb)
所以
S=S′
根据子样平均值与标准差的上述性质,我们对一些太大、太小或有小数的测定值进行有关变换,可使子样平均值与标准差的计算简化。常用的变换公式为:
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054010.jpg?sign=1734453109-ZsL5XYwneGMt496CUEtXbuOJjmVpBL8f-0-5280d47e11461ee29d5d6314b57ce37f)
相应地有
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00054008.jpg?sign=1734453109-vfjXmbTZzYBH2JkKnCsivW7PEvsNUgdO-0-f9217c55ea6f78adb06c09fc6a220f96)
![](https://epubservercos.yuewen.com/84A7D5/17180255205318806/epubprivate/OEBPS/Images/img00055001.jpg?sign=1734453109-mtSG4d9jofOilEk0LOeTbdYRE98bWyeG-0-3ac10cca80043b682ba16026391da79d)
这里的 和S′分别为变换后数据计算出的平均值与标准差。