2.6.4　随机误差的区间概率

1.随机误差的区间概率

正态分布曲线和横轴所夹的面积表示全部数据出现概率的总和，显然应当是100％，即为1。记为

测定值x出现在某一区间的概率，如出现在区间[a，b]的概率P（a≤x≤b）就等于直线x=a、x=b与正态分布曲线、坐标横轴所包围的面积，即

这个积分计算同μ与σ有关，计算起来不方便。通常将横坐标的x改用u表示，u定义为

这就使均值为μ、标准差为σ的正态分布变成了均值为0、标准差为1的标准正态分布。相应地，其分布密度函数变为

对式（2-20）积分则方便得多。人们已经计算出不同u值的f（u）曲线所包围的面积的值，即对式（2-20）进行积分的积分值，并制成了不同形式的正态分布表供直接查阅。本书附录B-1列出了标准正态分布表，表中给出的积分值为

式中kα表示标准正态分布的“上α分位数”，见附表B-1。利用标准正态分布表，可求取随机误差落在某一区间的概率。

【例2-2】某测定值的误差服从正态分布，已知测定标准差σ=2.5，求测定值的误差位于区间（-3，3）的概率。

解：由题意，xa-μ=-3，xb-μ=3。按式（2-19）进行变换

于是原题化为求u处于区间（-1.2，1.2）的概率。

由正态分布的对称性，有

并且有

P（u≥-kα）=1-p（u≥kα）　　（2-23）

如果ua与ub的绝对值相等而符号相反，即ua=-ka，ub=ka，由式（2-22），并结合式（2-23）可以推导出

式中，P（u≥kα）的值可由附录B-1直接查到。本例的ua=-1.2，ub=1.2，所以ka=1.2。查附录B-1，当ka=1.2时，P（u≥1.2）=α=0.1151。所以，按式（2-24）

P（-1.2≤u≤1.2）=1-2×0.1151=0.7698

即测定值的误差位于区间（-3，3）的概率为76.98％。

【例2-3】求测定值的误差位于区间（-σ，σ）的概率。

解：　

P（u≤1）=1-2P（u≥1）=1-2×0.1587=0.6828

用同样的方法可以计算出测定值的误差落在区间（-2σ，2σ）和（-3σ，3σ）的概率，分别为

P（u≤2）=1-2P（u≥2）=1-2×0.0228=0.9544

P（u≤3）=1-2P（u≥3）=1-2×0.00135=0.9973

从上面的计算可以看出，测定值的误差落在区间（-3σ，3σ）的概率是很大的，接近于1。而落在这个区间以外的概率则为

1-0.9973=0.0027

即在1000次测定中，出现误差的绝对值大于3倍标准差的机会不超过3次。因此，人们常把误差的绝对值等于3倍标准差称为最大误差。

误差落在（-2σ，2σ）以外的概率为

1-0.9544=0.0456

即在大约20次测定中，出现误差的绝对值大于2倍标准差的机会不超过一次。

2.计算随机误差的区间概率的Excel方法

计算随机误差的区间概率的Excel方法可用标准正态分布的累积函数NORMSDIST（）。

功能：返回标准正态分布的累积函数，该分布的平均值为0，标准偏差为1。可以使用该函数代替标准正态分布表（见附录B-1）。返回值为P（u≤z）。

语法：

NORMSDIST（z）

其中，z为需要计算其分布的数值。

说明：如果z为非数值型，函数NORMSDIST（）返回错误值“#VALUE！”。

示例：

①NORMSDIST（1.333333）等于0.908789。

②计算P（│u│≤ka），ka分别为1.2和3。计算公式及结果分别为：

=2*NORMSDIST（1.2）-1；显示结果0.769860537；

=2*NORMSDIST（3）-1；显示结果0.997300066。