4.1 不定积分的概念与性质_医用高等数学-QQ阅读男生轻小说网

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4.1　不定积分的概念与性质

4.1.1　不定积分的概念

引进不定积分概念之前，先看一个实例.

例　求通过点（2，3），且它的切线斜率为2x的曲线方程.

解　设所求的曲线方程为y=f（x），因为切线斜率为2x，即　y′=2x

所以　　y=x2+C

又所求曲线过点（2，3），代入上式

3=22+C，C=-1

故所求曲线方程为

y=x2-1

对于以上问题，可以归结为一般的数学问题加以研究.

已知关系式F′（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx求F（x），就是求它求导前的函数.

定义1　如果在区间I上函数F（x）的导数是f（x），或函数F（x）的微分是f（x）dx，即

F′（x）=f（x）　或　dF（x）=f（x）dx

则称F（x）为f（x）的原函数（primitive function）.

例如，x2是2x的原函数.

对x2来说，它不是2x的唯一的原函数.因为（x2+1）′=2x，（x2+8）′=2x，所以x2+1与x2+8都是2x的原函数.

对于原函数，提出以下两个问题：

第一，如果函数f（x）有原函数，那么原函数共有多少个？

显然，如果F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），又因为[F（x）+C′]=f（x），所以函数族F（x）+C（C是一个任意常数）中的任何一个函数也一定是f（x）的原函数，所以如果f（x）有原函数，则原函数有无穷多个.

第二，函数族F（x）+C是否包含了f（x）的所有原函数？

设Φ（x）是f（x）的任意一个原函数，则有Φ′（x）f（x），而F′（x）f（x），所以

[Φ（x）-F（x）]′=Φ′（x）-F′（x）=0

由第3章3.1节Lagrange中值定理推论可知：

Φ（x）-F（x）=C

即　　Φ（x）=F（x）+C

由此看出，函数族F（x）+C包含了f（x）的所有原函数，是函数f（x）原函数的全体.

定义2　在区间I上，如果函数F（x）是函数f（x）的一个原函数，则函数f（x）的原函数的全体F（x）+C称为f（x）在区间I上的不定积分（indefinite integral），记为∫f（x）dx，

即

∫f（x）dx=F（x）+C　　（4.1）

式中：C为任意常数，也称积分常数（integral constant）；∫称为积分号（sign of integration）；f（x）称为被积函数（integrand）；f（x）dx称为被积表达式（integrand expression），x称为积分变量（variable of integration）.

不定积分的几何意义：

若F（x）是f（x）的一个原函数，F（x）的图形叫作f（x）的积分曲线（integral curve）.不定积分∫f（x）dx在几何上表示积分曲线族，其方程是y=F（x）+C，由[F（x）+C]′=f（x）可知，在积分曲线族上，横坐标相同点处的切线互相平行如图4-1所示.