1.3　平面方程与空间直线方程

在三维几何空间中平面可以看成直线平移所生成的几何元素.表示平面的方程是含有三个未知量的一个方程.空间直线可以看成是两个平面的交线，因此两个平面方程的联立方程组表示空间直线方程.本节讨论如何建立平面和空间直线的方程、如何依据方程了解平面和空间直线的几何特征.

1.3.1　平面及其方程

1.平面方程

与一平面垂直的向量（vector）称为该平面的法向量（normal vector）.如平行于z轴的向量是xOy平面的法向量.设一平面的法向量为n={A，B，C}，而且该平面经过点P0（x0，y0，z0），则这一平面是唯一确定的.

设平面上的动点坐标为P（x，y，z），则向量与平面的法向量n垂直，依据两向量垂直的充分必要条件即其点积为零，因此有

A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0.

则称方程（1.5）为平面的点法式方程（point-normal forme quation）.这个方程显然可以写成

Ax+By+Cz+D=0.　　　　（1.6）

方程（1.6）通常称为平面的一般方程（general or standard equation），它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几何空间都表示平面.因此，对于任给的方程（1.6），其三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个法向量的坐标.据此可以根据平面的方程明确它的几何特征.

（1）A，B，C中有一个为零，则平面平行于某个坐标轴，例如x-y=1，它的法向量为{1，-1，0}，因此与z轴平行.一般地，平面平行于其方程中缺失的那个未知量对应的坐标轴.

（2）A，B，C中有两个为零，则平面平行于某个坐标面，例如x=1，它的法向量为{1，0，0}，因此与yOz平面平行.一般地，平面垂直于其方程中唯一存在的未知量对应的坐标轴.

（3）D为零是平面过坐标原点的充分必要条件.例如x+2y-z=0过坐标原点.

例1　已知平面上三点P1（a，0，0），P2（0，b，0），P3（0，0，c）.若abc≠0，求平面π的方程.

解　平面的法向量既垂直于，又垂直于，故可用的矢量积表示，即

根据直线的点法式方程得到所求平面的方程为

bc（x-a）+ac（y-0）+ab（z-0）=0.

方程两端同除以abc得到

其中a，b，c称为平面π在x轴，y轴，z轴上的截距，也称为平面的截距式方程（intercept form equation）.

2.平面间的位置关系

（1）两平面的夹角

两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角.

例2　求平面x-y+2z=6与平面2x+ky+4z=5的夹角.

解　两平面的法向量分别为n1，n2，则

显然k=10时两平面垂直，k=-2时两平面平行.

例3　设平面π过原点以及点（6，-3，2），且与平面4x-y+2z=8垂直，求平面π的方程.

解　法一：由于平面π过原点，所以可设平面π的方程为：Ax+By+Cz=0.则有

上面两式相减得A=B， .任取B=2，则A=B=2，C=-3，得平面π的方程为

2x+2y-3z=0.

法二：设平面π的法向量为n，则n与该平面内的向量a={6，-3，2}垂直，也垂直于已知平面的法向量n0={4，-1，2}，则

故平面π的方程为2（x-0）+2（y-0）-3（z-0）=0，即2x+2y-3z=0.

（2）点到平面的距离

例4　设点P1（x1，y1，z1）为平面π：Ax+By+Cz+D=0外的一点.求点P1到平面π的距离d.

解　设P0（x0，y0，z0）为平面π上的任意一点.又设平面π的法向量为n，而直线P0P1的方向向量为a，则点P1到平面π的距离d可以看作是直线P0P1的方向向量a在平面法向量上的投影的绝对值，从而有

考虑到P0（x0，y0，z0）在平面上，即Ax0+By0+Cz0=-D，因此点P1（x1，y1，z1）到平面π：Ax+By+Cz+D=0的距离公式为

如：P1（-1，1，2）到平面3x-2y+z-1=0的距离为.

1.3.2　空间直线及其方程

1.空间直线的方程

（1）直线的参数方程与对称式方程

平行于直线的非零向量称为该直线的方向向量（direction vector），由于过空间一已知点可以作且仅能作一条直线l与已知直线平行，故当直线l上一点M0（x0，y0，z0）及其方向向量s=（m，n，p）为已知时，直线l的位置就完全确定下来，下面建立直线l的方程.

空间任意点M（x，y，z）在直线l上的充分必要条件为直线M0M平行于向量s.根据向量平行的条件可以得到

x-x0=tm，y-y0=tn，z-z0=tp，t∈R.

也可以写成为

或者

方程（1.7）和（1.8）分别称为直线的参数方程与对称式方程.

（2）直线的一般方程

直线l可以看作是两个平面的交线，空间一点在直线l上当且仅当其坐标同时满足两平面的方程，因此直线的一般方程为

其中 不成立.

如果直线由对称式给出，则只需分列成

就得到一般方程.

需要指出，在对称式方程中，若m，n，p中有一个为零，如m=0，则对称式方程应理解为一般方程

若m，n，p中有两个为零，如m=n=0，则对称式方程应理解为一般方程

如果直线l由一般方程（1.9）给出，如何写出其对称式方程？事实上，直线l的方向向量s必然垂直于两平面的法向量，即有

据此可以写出直线的对称式方程.

例5　用参数方程与对称式方程表示直线

解　两平面的法向量分别是（1，1，2）和（2，-1，3），则

再在直线上取一点（x0，y0，z0），不妨取z0=1，代入方程组可得x0=-3，y0=1.因此求得直线的对称式、参数式方程分别是

2.直线间、直线与平面的位置关系

（1）两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角.如果两直线l1与l2的方向向量分别是s1=（m1，n1，p1）与s2=（m2，n2，p2），则有如下夹角公式

因此不难得到两直线的位置关系：

直线l1与l2相互垂直（不一定相交）的充分必要条件是

m1m2+n1n2+p1p2=0；

直线l1与l2相互平行的充分必要条件是

（2）直线与平面的夹角

直线和它在平面投影直线的夹角φ称为直线与平面的夹角.设直线的方向向量是s=（m，n，p），平面的法向量是n=（A，B，C），则其夹角为

例6　求直线与平面2x+py+z-6=0的交点与夹角.

解　直线的参数方程为

x=2+t，y=3+t，z=4+2t，

代入平面方程得

2（2+t）+p（3+t）+4+2t-6=0.

即（4+p）t=-（2+3p），因此若p≠-4，则得到交点为

若p=-4，则对任何t等式（4+p）t=-（2+3p）都不成立，即直线与平面没有交点，即直线平行于平面.

数学家名言

我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何.

——笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）