3.4　微分中值定理

在3.1节中，由因变量相对于自变量的变化率引入导数的概念，在3.2节讨论了导数的计算方法.本节介绍微分学的三个中值定理，为下节的导数应用打好基础.这三个中值定理以三位数学家罗尔（M.Rolle，1652—1719），拉格朗日（J.Lagrange，1735—1813）和柯西（A.L.Cauchy，1789—1857）的名字命名，是微积分学中的基本定理.

定理1　（罗尔（M.Rolle）定理）设函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）f（b）=f（a）.

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=0.

证明　因为函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以在闭区间[a，b]上有最大值M和最小值m.

若M=m，则f（x）在闭区间[a，b]上为常数，所以f'（x）=0，在（a，b）内任取一点ξ，有f'（ξ）=0.

若M>m，则M，m至少有一个不等于f（a），不妨设M≠f（a），则在开区间（a，b）内存在一点ξ，使得f（ξ）=M，所以

因为f（x）在x=ξ处可导，所以，即f'（ξ）=0.

例1　设f（x）=x3+x2，验证它在区间[-1，0]上是否满足罗尔定理的条件，如果满足，试求ξ的值，使f'（ξ）=0.

解　f（x）=x3+x2是初等函数，它在（-∞，+∞）连续且可导，所以它在[-1，0]上连续，在（-1，0）内可导，且f（0）=f（-1）=0，所以f（x）=x3+x2在区间[-1，0]上满足罗尔定理的条件.

令f'（x）=3x2+2x=0，解得：x1=0，因为x1=0∉（-1，0），所以舍去，取ξ=，即在区间（-1，0）内存在一点，使f'（ξ）=0.

例2　不求导数，判断f（x）=x（x-1）（x-2）的导函数有几个根及这些根所在的区间.

解　由于f（x）=x（x-1）（x-2）分别在[0，1]和[1，2]上连续，在（0，1）和（1，2）内都可导，且f（0）=f（1）=f（2）=0，所以f（x）在[0，1]和[1，2]上满足罗尔定理的条件，则

在（0，1）内至少有一点ξ1，使得f'（ξ1）=0，所以ξ1是f'（x）=0的一个实根.

在（1，2）内至少有一点ξ2，使得f'（ξ2）=0，所以ξ2是f'（x）=0的一个实根.

因为f'（x）为二次多项式，只能有两个根，所以f'（x）=0有两个实根，它们分别位于（0，1）和（1，2）.

定理2　（拉格朗日（J.Lagrange）中值定理）设函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导.

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

证明构造一个函数

证明　

则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

所以F（a）=F（b）.

由罗尔定理得，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F'（ξ）=0，即

例3　讨论函数在区间[1，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，求适合定理的ξ值.

解　因为在区间[1，2]上连续，且在开区间（1，2）内可导，且，所以函数在区间[1，2]上满足拉格朗日中值定理的条件.由拉格朗日中值定理得

f（2）-f（1）=f'（ξ）（2-1），

即　 解得 .

例4　在区间I内，若f'（x）≡0，证明：f（x）=C（C为常数）.

证明　任取x1，x2∈（a，b），不妨设x1<x2，则函数f（x）在[x1，x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，则至少存在一点ξ∈（x1，x2），使得

f（x2）-f（x1）=f'（ξ）（x2-x1）　（x1<ξ<x2）.

由于f'（x）≡0，故f'（ξ）=0，所以f（x2）-f（x1）=0，即f（x2）=f（x1）.因此f（x）在区间（a，b）内是一个常数.

定理3　（柯西（Cauchy）中值定理）设函数f（x），g（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导，g'（x）≠0.

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 .

证明　构造一个函数

则F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且

由罗尔定理得，至少存在一点ξ∈（a，b），使得F'（ξ）=0，

数海拾贝

罗尔（M.Rolle，1652—1719）是法国数学家.他出身贫苦，用业余时间刻苦自学代数.罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程的导函数至少有一个根.一百多年后，尤斯托（Giusto Bellavitis）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理.拉格朗日（J.Lagrange 1735—1813）是法国数学家、物理学家.由于他在数学方面的突出成就，被誉为“欧洲最伟大的数学家”.近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。他出版了两本关于函数论的历史性著作.拉格朗日在《解析函数论》中，第一次得到微分中值定理.柯西（A.L.Cauchy，1789—1857），他在纯数学和应用数学的功力相当深厚，他一生一共著作了789篇论文；他的全集出版了28卷.

例5　设b>a>0，函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，试证：存在ξ∈（a，b），使2ξ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f'（ξ）.

证明　设函数g（x）=x2，显然f（x），g（x）在区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，从而有

又因为　g（b）-g（a）=b2-a2，g'（ξ）=2ξ.

即存在ξ∈（a，b），使2ξ[f（b）-f（a）]=（b2-a2）f'（ξ）.