2.2　函数的极限

极限是高等数学中一个非常重要的概念，极限方法是解决高等数学中一系列问题的最基本方法.导数、微分、积分等都是用极限概念来定义或描述的.

极限是描述自变量在某个变化趋势下，函数值的变化趋势.自变量一般有两种变化趋势，一种是自变量趋于无穷大，另一种是自变量趋于固定数.

本节先讨论函数的特殊情况——数列的极限，再讨论函数在自变量两种变化趋势下的函数极限.

2.2.1　数列的极限

定义1　数列是定义在自然数集N上的函数xn=f（n），把xn按自变量n从小到大的顺序排成一列x1，x2，x3，…，xn，…，称为数列（sequence），记作{xn}，其中xn称为数列的第n项或数列的通项（general term）.

例1　考察下列数列的变化趋势：

（5）{（-1）n+1}：0，2，0，…，（-1）n+1，…

（6）{2n+1}：3，5，7，…，2n+1，…

解　我们知道数列（1）和（2）随着n的无限增大，绝对值会越来越小；而数列（3）会越来越接近于1；数列（4）和（5）分别在两个数中跳来跳去，并不和哪一个数越来越近；数列（6）的变化趋势是随着n的无限增大也无限增大.

事实上，我们要关心的和要重点讨论的问题就是：给定一个数列{xn}，当n无限增大时，一般项xn的变化趋势是什么？这就是数列极限的问题.

定义2　对于数列{xn}，若当n无限增大时，xn无限趋近一个常数A，则称A是数列的极限（limit），记作，或xn→A（n→∞）.

例1的几个数列中，数列（1），（2），（3）分别以0，0，1为极限，即

而数列（4），（5）当n充分大时，不能无限趋近于一个确定的常数；数列（6）当n充分大时，随之无限增大.这两类数列称为发散数列.一般地，具有有限极限的数列称为收敛数列.

例2　假设每隔时间间隔τ注射一次药物，剂量为D0.第n次注射后到第n+1次注射前的时间段里，体内药量为为常数）.当n→∞时的体内药物积累量图2-9），

关于数列，有下列基本性质：

性质1　收敛数列的极限必为唯一.

性质2　有极限的数列必定为有界数列.

性质3　单调有界的数列必有极限.

性质4　若存在一个自然数k，当n>k时，成立不等式yn≤xn≤zn，且，则.

这些性质不仅对理解数列的极限有一定的帮助，而且也可以用来判定数列是否收敛，以及求数列极限，这在以后的学习中经常会接触到.

数海拾贝

雪花曲线　因其形状类似雪花而得名，它的产生过程是这样的：由等边三角形开始把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原三角形叠合的边.接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.

雪花曲线令人惊异的性质是：它具有有限的面积，但却有着无限的周长（可以用数列极限证明）.

雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上.其有限的面积为原三角形的8/5倍.雪花曲线是一种分形曲线（参见分形理论或分形几何学的有关内容）.云层的边缘，山脉的轮廓，雪花，海岸线等自然界里的不规则几何图形都可用“雪花曲线”的方式来研究.

雪花曲线：由等边三角形开始把每一条边三等分，将中段向外作新的等边三角形，并去掉与原三角形叠合的边，继续上述过程可得到.

2.2.2　函数的极限

1.自变量趋于无穷大（x→∞）时函数的极限

考察函数，当x→∞无穷大时，即不论x取正值并无穷增大（记作x→+∞），还是x取负值并且其绝对值无穷增大（记作x→-∞），函数的变化趋势（见表2-3）.

由此可见，无论x→+∞还是x→-∞，函数都趋近于0.

定义3　当自变量x的绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于无穷大时的极限，记作，或f（x）→A（x→∞）.若自变量x取正值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于正无穷大时的极限，记作，或f（x）→A（x→+∞）；若自变量x取负值且绝对值无限增大时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于负无穷大时的极限，记作，或f（x）→A（x→-∞）.

与数列极限类似，可以验证下列极限是成立的.

2.自变量趋于某个数（x→x0）时的极限

表2-4列出了函数的变化趋势，当自变量x在x0=3的左侧或右侧接近3时（记作x→3）时，函数f（x）的变化趋势.

由此可见，当自变量从3的两侧趋近于3时，函数f（x）趋近于2，称2是当x→3时f（x）的极限.

定义4　当自变量x无限趋于x0时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于x0时的极限，记作，或f（x）→A（x→x0）.

定义5　若自变量x小于x0且无限趋于x0时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于x0时的左极限（left-hand limit），记作，或f（x）→A（x→）；若自变量x大于x0且无限趋于x0时，如果函数f（x）无限趋近一个常数A，则称A是f（x）当x趋于x0时的右极限（right-hand limit），记作，或f（x）→A（x→）.

由定义可以直接得到：

性质5　的充分必要条件是.

例3　讨论函数的极限.

解　因为

该函数当x→0时，左极限与右极限不等，所以x→0时，该函数的极限不存在.与收敛数列的性质类似，函数极限也有一些相似的性质，下面仅以这种形式为例给出函数极限的一些性质，其它形式的极限性质读者只要作一点修改即可得出.

性质6　如果存在，则极限唯一.

性质7　如果存在，则f（x）局部有界，即存在常数M>0和δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有|f（x）|≤M.

性质8　如果，则f（x）局部保号，即存在常数δ>0，当0<|x-x0|<δ时，有f（x）与A同符号.

2.2.3　无穷小量及其性质

1.无穷小量和无穷大量

定义6　如果x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的极限为零，则称x→x0（或x→∞）时f（x）为无穷小量，简称为无穷小（infinitesimal）.

当x→0时，x2，sinx，cosx-1的极限都为0.所以当x→0时，x2，sinx，cosx-1，都是无穷小.

当x→∞时，所以当x→∞时，为无穷小.

0是无穷小，除0以外，无穷小量不是一个很小的常数，而是一个趋近于0的变量.

定义7　如果x→x0（或x→∞）时，函数f（x）→∞，则称x→x0（或x→∞）时f（x）为无穷大量，简称为无穷大（infinity）.

当x→∞时，x2-1→∞，所以当x→∞时，x2-1为无穷大.

无穷大量不是一个很大的常数，而是一个趋近于∞的变量.

2.无穷小量的性质

性质9　limf（x）=A的充分必要条件是在同一极限过程中f（x）-A为无穷小.

性质10　同一极限中的两个无穷小的代数和或乘积还是无穷小.

性质11　有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.即：若|f（x）|≤M，limα（x）=0，则limα（x）f（x）=0.

例4　求下列极限

解　（1）当x→0时，x2的极限为0；，所以当x→0时，是无穷小量，

（2）当x→∞时，的极限为，所以当x→∞时，是无穷小量，即

2.2.4　函数极限的运算法则

定理1　已知两个函数f（x）和g（x）在x的同一种变化过程中有极限，即limf（x）=A，limg（x）=B，则

（1）两函数代数和的极限等于这两函数极限的代数和，即

lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B.

（2）两函数乘积的极限等于这两函数极限的乘积，即

lim[f（x）·g（x）]=limf（x）·limg（x）=A·B.

（3）位于分母的函数极限非零时，两函数商的极限等于这两函数极限的商，即

此定理可以简单描述成为，函数和、积、商的极限等于函数极限的和、积、商（条件是函数极限存在，且商的情况下分母不为零）.此结论也可以推广为，有限个函数代数和（或乘积）的极限等于极限的代数和（或乘积）.显然，如果g（x）=k（k为常数），则lim[k·f（x）]=k·limf（x）.

定理2*　设函数y=f（u），u=φ（x）构成复合函数y=f（φ（x）），若存在常数δ1>0，当0<|x-x0|<δ1时，f（φ（x））有定义且

同时存在常数δ2>0，当0<|x-x0|<δ2时，有

u=φ（x）≠u0，

则

2.2.5　两个重要的极限及其应用

有两个极限经常被用到，在本书对这两个极限不作严格证明，仅给出一些说明，之后重点讨论这两个重要极限的应用.

1.

事实上，可以计算当x→0时函数的值的变化趋势（由于该函数是偶函数，因此表2-5仅列出x大于零的情况）.

2.

本极限中的函数为，它既不是幂函数也不是指数函数，这种函数称为幂指函数.显然不能利用指数函数或幂函数的单调性来判断它的增减性.可以证明这个函数是单调增加的，而且也是有界的.容易计算（读者可用数学软件进行计算）该函数在不同点的函数值，表2-6列出了当x取值逐渐变大时函数的值的变化趋势.

表中的数值可以看出当x取值逐渐变大时，函数的值缓慢地变大，但都不超过某一个数，如3就是这样的数.这个函数的图形如图2-10示.可以证明函数当x→∞时具有极限，这个极限是一个无理数，这个常数在数学中占有重要的地位，记为e，直接称其为e，也称为自然对数的底，它近似地为2.718281828459045235360287….

2.2.6　无穷小量阶的比较

定义8　设α=α（x），β=β（x）是同一极限过程中的无穷小，且β（x）≠0，则

（1）若，则称α是较β高阶的无穷小，记作α=o（β）；

（2）若，则称α是较β低阶的无穷小，或β是较α高阶的无穷小；

（3）若，则称α与β是同阶无穷小；特别地，当c=1时，称α与β是等价无穷小，记作α～β；

（4）若，则称α是关于β的k阶无穷小.

无穷小量的比较就是比两者趋于0的速度快慢.可以证明当x→0时，

在计算两个无穷小量之比的极限时，利用等价无穷小，可使极限的计算简化.

数学家名言

无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵.

——希尔伯特（D.Hilbert，1862-1943）

我们知道的是很少的，我们不知道的是无限的.

——拉普拉斯（Laplace，1749—1827）