命题III.4

在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不能互相平分。

设：ABCD为圆，两条弦为AC、BD，皆不经过圆心，彼此相交于E点。

求证：它们不相互平分。

因为，如果可能，假设它们相互平分，那么：AE就等于EC，且BE等于ED。

令圆心为F，连接FE（命题III.1）。

又因为过圆心的弦FE平分不过圆心的弦AC，并构成直角，所以：∠FEA为直角。

又因为弦FE平分弦BD，它们也形成直角，即∠FEB为直角，而∠FEA被证明也为直角，所以：∠FEA也等于∠FEB。于是：小等于大。这是不可能的（命题III.3）。

所以：AC、BD不能相互平分。

所以：在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不能相互平分。

证完

注解

这一陈述的逆否命题是，如果两条弦相互平分，那么它们相交于圆心。

这一命题在《原本》中未被再利用。