命题I.42

可以作一个平行四边形使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积。

设：ABC为给定三角形，∠D为给定角。

求证：根据给定∠D，作一个平行四边形的面积等于三角形ABC的面积。

在Ε点平分BC，连接AΕ。在线段ΕC及点Ε上作∠CΕF等于给定∠D。过A作AG平行于ΕC，再过C作CG平行于ΕF（命题I.10，公设I.1、I.23、I.31）。

因此：FΕCG是平行四边形。

因为BΕ等于ΕC，所以：三角形ABΕ的面积也等于三角形AΕC的面积。因为，它们在相等底边BΕ和ΕC上，并在相同二平行线BC、AG之间，所以：三角形ABC的面积是三角形AΕC的面积的两倍（命题I.38）。

又，平行四边形FΕCG的面积也是三角形AΕC的面积的两倍，因为两者有相等的底边，并顶点连线与底边平行，所以：平行四边形FΕCG的面积也等于三角形ABC的面积。

又，∠CΕF等于给定∠D。

所以：平行四边形FΕCG被作出，等于给定的三角形ABC的面积，并且∠D等于∠CΕF。

所以：可以作一个平行四边形使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积。

证完

注解

本命题应用在下面两个命题中。