2.2 单质量车身振动及特性

2.2.1 单质量车身振动微分方程

图2-6所示为分析车身振动的单质量系统模型，该模型由车身质量m₂和弹簧刚度为k、减振器阻尼系数为c的悬架组成，q为路面不平度函数，它是以沿路前进方向的坐标x为参数的随机过程。

取车身垂直位移坐标z的原点在静力平衡位置，可得到系统运动的微分方程为

即

这是单自由度系统随机基础位移激励问题，系统的响应是由两部分组成的，即由系统自由振动响应和强迫振动响应叠加组合而成，也就是说，系统振动响应是振动微分方程的齐次方程的解和非齐次方程特解之和。

图2-6 单质量车身振动模型

2.2.2 单质量系统的自由振动响应

令，，当激励q=0时，则由式（2-8）可得单质量系统的自由振动微分方程为

式中，p为系统的固有圆频率；而阻尼对系统的影响，取决于n与p的比值ξ，称ξ为阻尼比，即

汽车悬架系统阻尼比ξ通常在0.25左右，属于小阻尼。因此，振动系统的齐次微分方程的解，也就是车身自由衰减的振动响应为

式中，A是由初始条件所决定的常数，；φ是由初始条件决定的初相角，。

由式（2-11）可知，有阻尼的自由衰减振动，车身质量m₂以有阻尼的固有频率振动，而振幅却按Ae^-ξpt规律衰减，如图2-7所示。

由上述可知，阻尼对自由振动有如下两方面的影响。

图2-7 自由衰减振动曲线

1.阻尼使固有频率降低

如果无阻尼自由振动系统原固有频率为，则弱阻尼悬架系统的固有频率p′为

因此，可知小阻尼悬架系统的固有频率p′随阻尼比ξ的增大而降低。

由于汽车悬架系统的阻尼比ξ约为0.25，因此，阻尼是悬架系统的固有频率仅下降了3%左右，可以忽略不计，所以，工程上小阻尼振动系统的固有圆频率p′，可以近似地认为等于无阻尼振动系统的固有圆频率p，即p′≈p。因此，车身振动的固有圆频率和固有频率，分别为

2.阻尼决定振幅的衰减程度

设相邻两振幅分别为A_i和A_i+1（图2-7），它们的比值η称为减幅系数

式中，n为衰减系数。n越大表示阻尼越大，振幅衰减也就越大。令为对数衰减率，因此可得

所以，由式（2-16）可得振动系统的阻尼比为

若ξ≪1，则由式（2-16）得，lnη≈2πξ，因此由式（2-17）可知，小阻尼车辆悬架系统的阻尼比可近似表示为

2.2.3 单质量系统在简谐激振力下的响应

由于阻尼会使自由振动逐渐衰减，最后达到完全停止。工程上一些能持续下去的振动必定有外加能源，以弥补阻尼所消耗的能量，使系统的振动不会衰减。因此，工程上多采用强迫振动的响应。

若简谐激振力f（t）=F₀sinωt，则根据牛顿第二定律，可得单质量振动系统在简谐激振力f（t）=F₀sinωt作用下的振动微分方程，可表示为

式（2-19）可写为

式中，，；。

振动微分方程式（2-20）的解包括两部分：齐次方程的通解z₁和方程的特解z₂，即

z=z₁+z₂

由2.2.2节可知，在弱阻尼（ξ＜1）的情况下，有阻尼自由振动齐次方程的解z₁为

式（2-21）代表的是一种衰减振动，只在振动开始的一段时间内才有意义，故为瞬态振动。在一般情况下实际工程意义不大，可以不予考虑。

振动微分方程式（2-20）的特解z₂，代表系统在简谐激振下所产生的强迫振动，它是一种持续的等幅振动，故为稳态振动。设特解z₂为

z₂=Zsin（ωt-ψ） （2-22）

式中，Z为振动响应的幅值；ω为激振力圆频率，也是振动响应的圆频率；ψ为响应滞后于激励的相位差。

又因为

将式（2-22）～式（2-24）代入微分方程（2-20），可得

-ω²Zsin（ωt-ψ）+2ξpωZcos（ωt-ψ）+p²Zsin（ωt-ψ）=Fsin ωt（2-25）

利用三角函数关系得

Fsin ωt=Fsin[（ωt-ψ）+ψ]=Fcos ψsin（ωt-ψ）+Fsin ψcos（ωt-ψ）（2-26）

比较式（2-26）和式（2-25），由于对任何瞬时t都成立，故sin（ωt-ψ）和cos（ωt-ψ）前的系数必须分别相等，即

（p²-ω²）Z=Fcos ψ

2ξpωZ=Fsin ψ

因此，可得

式中，为频率比；，为系统的最大静位移。

因此，强迫振动的稳态解为

由上述强迫振动解可见：在简谐激振力作用下，强迫振动响应为也简谐振动，其频率与激振频率ω相同，但相位角滞后ψ，这是由于阻尼存在的关系。振幅Z与相位差ψ都只与系统固有特性及激振力的性质有关，而与初始条件无关。

由式（2-29）可得Z与Z₀之比β，β称为放大因子，为

放大因子β代表稳态振幅X与激振力幅F₀作用于弹簧上的静位移Z₀之比。β值不仅随λ而变，而且还随ξ值而变。

在不同的阻尼比ξ的情况下，放大因子β与频率比λ的关系以及相位角ψ与λ的关系，如图2-8和图2-9所示。其中，图2-8所示为幅频响应曲线，而图2-9所示为相频响应曲线。

图2-8 幅频响应曲线

图2-9 相频响应曲线

1）当λ≪1，即激振频率ω远小于系统的固有频率p时，无论阻尼大小如何，β接近于1，即振幅近似等于激振力幅值F₀作用下的静变形X₀。故在低频区内，振幅X主要由弹簧刚度控制。此时，相位差ψ≈0，即位移与激振力接近于同相位。

2）当λ≫1，即激振频率ω远大于系统的固有频率p时，β趋近于0。因为激振力方向改变太快，振动物体由于惯性来不及跟随，几乎停止不动。故在高频区内，振幅X主要决定于系统的惯性。这一特性正是隔振和惯性传感器的理论依据。相位差ψ≈π，即在高频范围内位移与激振力接近于反相位。

3）当λ≈1时，即ω接近p，振幅Z急剧增加，β趋向β_max，这种现象称为共振。严格地讲，β_max发生在处，但通常ξ²≪1，故ω=p时系统发生共振。由式（2-18）可以看出，振幅Z达到最大值时，由式（2-28）得。

可见在共振时，振幅最大值Z_max与阻尼比ξ的值有关，ξ越小，则Z_max将越大；在ξ→0时，Z_max可达到无穷大。但共振时的ψ值与阻尼比ξ的值无关，不论ξ为何值，共振时的ψ总是，这是共振的一个重要特征。从分析幅频响应与相频响应所引出的共振现象，是传统的共振试验法测定系统固有频率的理论基础。

2.2.4 单质量系统在单位谐波函数激励下的响应

单位谐波函数激励为复数形式的单位幅值简谐激振力，即f_c（t）=eⁱωt=cosωt+isinωt，则单质量系统的振动微分方程为

单质量系统在单位谐波函数激励下的复数形式的响应为z_c（t）。由于复数激振力和复数响应既是t的函数，又是ω的函数，故可令复数响应与复数激振力之比为H（ω），即

H（ω）被称为频率响应函数。它是一个由系统特性参数所确定的，表示系统在单位幅值的简谐激振力f_c（t）=eⁱωt作用下所产生的振幅。对于简谐激励，若知道系统的频率响应函数，便可由式（2-32）可求得振动系统的输出响应，即

z_c（t）=H（ω）f_c（t）（2-33）

根据式（2-31），可得单位简谐激振力作用下的响应为

将上述三式代入式（2-32），两边消去eⁱωt，即得频率响应函数为

式中，λ为频率比，ξ为阻尼比。

频率响应函数的模为，称为幅频特性。

频率响应函数的相位差角为，称为相频特性。

将复数形式的简谐激振力F₀eⁱωt代入式（2-33），则复数形式的响应为

z_c=H（ω）e^-iψF₀eⁱωt=F₀H（ω）eⁱ（ωt-ψ） （2-35）

若实际激振力为正弦函数F₀sin ωt，则实际响应取复数形式响应的虚部，得实际解为

若实际激励为余弦函数F₀cos ωt，则取复数形式响应的实部，得实际解为

2.2.5 单质量系统振动响应的傅里叶积分法

激励函数f（t）的傅里叶积分形式为

式（2-37）右端的积分运算称为激励f（t）的傅里叶变换，式（2-36）相应地称为傅里叶逆变换。由式（2-36）和式（2-37）所联系的两个量f（t）和F（ω）称为一个傅里叶变换对。

通常响应函数z（t）可以用傅里叶积分式（2-36）表示为

式中，

，是响应z（t）的傅里叶变换。

可以把非周期函数看成是由无数个复振幅为的谐波分量所组成，于是，根据式（2-35）求出对应于每个谐波分量的响应后，再根据线性系统的叠加原理，就可求得系统的响应

比较式（2-38）和式（2-39），得

X（ω）=H（ω）F（ω） （2-40）

它表示输出和输入傅里叶变换之比，等于频率响应函数H（ω），简称频响函数。这与在简谐激振力作用下的输出与输入关系式相同。这说明频率响应函数能表示系统的动态特性。在简谐激振力的作用下，线性单质量系统的频率响应函数为

它的模，它的虚部与实部之比为相位角，分别确定系统的幅频特性和相频特性，能全面反映系统的传递特性。

2.2.6 单质量车身在路面激励下的振动响应

对式（2-8），通常关心其稳态随机响应，它取决于路面不平度函数随机激励q（x）和系统的频率响应特性函数H（ω）。由上可知，系统频率响应函数H（ω）z_-q为系统的振动响应z的傅里叶变换与激励q的傅里叶变换之比，即

式中，Z（ω）为响应z（t）的傅里叶变换；Q（ω）为激励q（t）的傅里叶变换。

对式（2-8）进行傅里叶变换，可得单质量车身在路面激励下响应的频响函数为

式中，为阻尼比；λ为频率比，；ω为路面激励的圆频率；为系统固有圆频率。

由式（2-43）得为单质量车身在路面激励下的幅频特性和相频特性。

幅频特性为

相频特性为

汽车在具有一定幅值的正弦波路面上行驶，即路面激励为

q（t）=asin ωt

则单质量车身在路面激励下的响应为

路面激励q（t）=asin ωt为正弦，所以系统的实际响应为

式中，为幅值Z，即路面激励响应的幅值为

如果路面激励以速度=bsin ωt来表达，用上面同样的推导方法可得

若以加速度来表达，则有

由H（ω）z_-q可以得到单质量系统的幅频特性曲线，如图2-10所示。

由频响函数式（2-44）和图2-10可知

1）当频率比λ=1时，系统出现共振，幅频特性达到最大，即共振时的幅值

2）在低频段（0≤λ≤0.75），H（ω）z_-q略大于1，不呈现明显的动态特性，阻尼比对低频段的影响不大。

图2-10 单质量系统的幅频特性曲线

3）在共振段（0.75＜λ＜），H（ω）z_-q出现峰值，将输入激励放大，增大阻尼比ξ，可使共振峰值明显降低。

4）在高频段（），当时，

H（ω）z_-q=1，系统响应与阻尼比ξ无关；当时，H（ω）z_-q＜1，对输入位移有衰减作用，且阻尼比减小对减振有利。