3.5 曲线描述基本原理

工程上常用的曲线有两种类型：一种是规则曲线，另一种是自由曲线。常用的规则曲线有圆锥曲线、摆线和渐开线等，这些曲线都可以用函数或参数方程来表示。有了这些函数方程，可以很容易地应用计算机来显示和画出它们。自由曲线通常是指不能用直线、圆弧和二次圆锥曲线描述，而只能用一定数量的离散点来描述的任意形状的曲线。在实际应用中，往往是已知型值点列及其走向和连接条件，利用数学方法构造出能完全通过或者比较接近给定型值点的曲线（曲线拟合），再计算出拟合曲线上位于给定型值点之间的若干点（插值点），从而生成相应的参数曲线。本节将讨论自由曲线的计算机描述、分析、生成的数学原理和处理方法。

3.5.1 造型空间与参数空间坐标系统

造型空间是指曲面、曲线等几何实体存在的三维空间。我们可以通过坐标系由数学模型来精确地描述几何实体。如图3.15所示，对于曲线上每一位置点的（x, y, z）坐标都可由一个单变量u的方程来定义。对于曲面上任意位置点的（x, y, z）坐标都可由一个双变量u和v的方程来定义。参数域上的一对值（u, v）产生曲面上的一个三维点。

图3.15 曲线的造型空间和参数空间

3.5.2 曲线的数学描述方法

1．参数曲线和参数曲面

曲线和曲面可以用隐函数、显函数或参数方程来表示。用隐函数表示曲线和曲面不直观，作图也不方便，而用显函数表示则又存在多值性和斜率无穷大等问题。因此，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线和曲面（如二次圆锥曲线）。自由曲线和自由曲面多用参数方程（Parametric Representation）表示，相应地被称为参数曲线（Parametric Curve）或参数曲面。

空间的一条曲线可以表示成随参数u变化的运动点的轨迹（图3.15），其矢量函数为

其中，[0,1]为参数域，在参数域中的每一个参数点都可以通过曲线方程计算出一个曲线空间点。

2．曲线次数

样条曲线中的每一段曲线都由一个多项式来定义，它们都有相同的次数，即样条曲线的次数。曲线的次数决定了曲线的柔韧性。次数为1的样条曲线是连接所有控制顶点的直线段，它至少需要2个控制顶点。二次样条曲线至少需要3个控制顶点，三次样条曲线至少需要4个控制顶点，以此类推。但高于三次的样条曲线有可能出现难以控制的振荡。在各系统中，B样条曲线的缺省次数为三次，这能够满足绝大多数情况的需求。

3.5.3 几何设计的基本概念

设计中通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状，且所构造的曲线和曲面应满足光顺的要求。这种定义曲线和曲面的方法有插值、拟合或逼近。

插值：给定一组精确的数据点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺要求，如图3.16（a）所示。

图3.16 型值点、特征点与曲线的关系

拟合：对于一组具有误差的数据点，构造一个函数，使之在整体上最接近这些数据点而不必通过全部数据点，并使所构造的函数与所有数据点的误差在某种意义上最小。

逼近：用特征多边形或网格来定义和控制曲线或曲面的方法如图3.16（b）和图3.16（c）所示。虚线上的点是特征点，形成的多边形称为特征多边形或控制多边形（Control Polygon）。

光滑：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具有至少一阶的连续导数。

光顺：它不仅要求曲线或曲面具有至少一阶的连续导数，而且还要满足设计要求。例如，一般机械零件外形只要求一阶导数连续就够了，而叶片、汽车外形等产品不但要求二阶导数连续，而且曲线的凹凸走向要满足功能要求。