2.2 可拓集合的定义

可拓集合是可拓学的理论支柱之一，是在经典集合（即指康托集合）和模糊集合的基础上发展起来的另一个集合概念。客观事物处于不断运动和变化之中，因此，人脑思维对客观事物的识别和分类并不是只有一个模式，而是多种形式的，因而，描述这种识别和分类的集合论也不应是唯一的，而应是多样的。经典集合描述的是事物的确定性概念，用0、1两个数值来表征对象属于某一集合或不属于该集合；模糊集合描述的是事物的模糊性，用[0，1]中的数值来描述事物具有某种性质的程度；可拓集合描述的是事物的可变性，用（-∞，+∞）中的数值来描述事物具有某种性质的程度，用可拓域描述事物“是”与“非”的相互转化。

例如，某企业加工的某种工件，按经典集合的划分方法，可划分为合格品和不合格品。但实际上，在不合格品中，如果采取“重新车床加工”的方法，那些大于合格尺寸的工件就是“可返工品”，其余的才是废品；如果采取“电镀”的方法，则小于合格尺寸的工件就是“可返工品”，其余的才是废品。由此可见，“可返工品”是一类特殊的通过变换可改变的不合格品。

这类问题用经典集合或模糊集合都是很难描述的，可拓集合正是以这类实际问题为背景发展起来的一个新概念。它既可以描述事物是与非的相互转化，又可以描述事物具有某种性质的程度，即既可以描述事物质变的过程，又可以描述事物量变的过程。可拓集合为定量化、形式化和逻辑化解决矛盾问题提供了理论依据和新的数学工具。

<定义2.1>在特定论域下，其任一元素基于某一变换，按某一准则进行的划分称为可拓集合。其中变换可以是论域变换、准则变换和元素变换。

可拓集合将论域分为正稳定域、负稳定域、正可拓域、负可拓域、拓界和零界，如图2-2所示。

以参加某次英语考试的学生为例，初次笔试，然后又组织了面试。笔试合格面试仍合格的为正稳定域；笔试不合格面试仍不合格的为负稳定域；笔试不合格面试后总评合格的为正可拓域；笔试合格面试后总评不合格的为负可拓域；正在参加考试的学生为零界。

可拓集合描述了事物“是”与“非”的相互转化，既可以用来描述量变的过程（稳定域），又可以用来描述质变的过程（可拓域）。零界或拓界是质变的边界，超过它们，事物就产生质变。

上述可拓集合的划分，可作为使矛盾问题转化的理论依据和定量化工具。

以公司招聘职工为例来说明可拓集合中各域的意义。

设论域U为某公司招工时应聘者的全体，u∈U为任一应聘者，y=k（u）表示应聘者u符合招聘条件的程度，则可拓集E～中各域的划分为：

1）在不实施变换T时，所有符合招工条件的应聘人员全体用的正域表示；而的负域则表示应聘者中所有不满足招工条件的人员的全体；其零界表示应聘者中既符合条件，又不符合条件的人的全体，如已经考到某一证书，但证书还未颁发下来的人员。

2）假设招聘条件中对计算机操作水平有一定的要求。论域和关联准则都不变，变换Tu为应聘者突击培训计算机操作一周，部分应聘者培训后提高了自己的计算机操作水平，则：正可拓域表示原来不合格但突击培训后变为合格的应聘者的全体；由于这些应聘者培训后变为合格的应聘者并成为受聘者，但招聘岗位有限，原来部分合格者因为计算机操作水平低于突击后的受聘者而被淘汰，因而这些原来合格但后来被淘汰的应聘者全体用负可拓域表示。

正稳定域表示原来合格，经变换Tu后仍然合格的应聘者的全体；负稳定域表示原来不合格，经变换Tu后仍然不合格的应聘者的全体。

3）若论域和论域中的人员都不变，变换Tk为对关联准则k的变换，设Tk为改变某些招聘条件，如降低对学历的要求，增强对语言表达能力的要求，则：正可拓域表示原来不合格，但变换招聘条件后变为合格的应聘者的全体，负可拓域表示原来合格，但变换招聘条件后变为不合格的应聘者的全体；正稳定域表示原来合格，经变换后仍然合格的应聘者的全体；负稳定域表示原来不合格，经变换后仍然不合格的应聘者的全体。

4）若变换TU为对论域U的变换，设TU为扩大招聘区域，其他招聘条件不变，如原来只是在北京招聘，即论域U={北京市内的所有适龄人员}，现在招聘范围扩大到全国，即TUU={全国的所有适龄人员}，则：正可拓域表示条件变化后合格的应聘者全体，即北京市外合格的应聘者；负可拓域表示在条件变化后北京市内应聘者变为不合格应聘者全体，即原来为北京市内合格应聘者现转化为不合格应聘者；正稳定域表示原来为合格的应聘者，经变换后仍然为合格的应聘者的全体；负稳定域表示原来为不合格的应聘者，经变换后仍然为不合格的应聘者的全体。

由此可见，事物动态转化的程度可以用可拓集合定量化地表示出来，并且利用可拓集合可以对事物进行动态分类和划分。可拓集合的核心概念是可拓域。可拓域有正可拓域和负可拓域之分。正可拓域不具有经典集合中所需要的某种性质，但经过可拓变换后，变为具有所需性质。显然，不同的变换具有不同的可拓域，可拓域中的元素经过变换产生了质变。

与可拓域相对应的是稳定域，它表示在某变换下，性质不产生质的变化的元素。事物的变化在稳定域内进行的，属于量变的范围。

可拓集合有两条疆界：一条是零界；另一条是论域的边界。论域的变换表现为它的边界的改变；关联准则的变换表现为正域和负域的分界——零界的改变；元素的变换表现为其位置的改变。处于变换临界线的分界称为拓界。

可拓集合不承认绝对的非此即彼，也不承认绝对的亦此亦彼，而是把“此”与“彼”置于变化之中，考察事物“此”与“彼”的相互转化。转化思想是可拓学最基本的哲学概念，它发展了以往自然观“转化”的总括概念，为可拓学提供了辩证的思维形式，为创造性思维的形式化和逻辑化提供了辩证唯物主义自然观基础。

在可拓集合基础上，正逐步建立一个数学的新分支——可拓数学。它与经典数学、模糊数学的区别与联系如表2-1所示。

注：更详细的内容请查阅可拓学专著。