3.1 城市—区域系统的相关理论支撑
3.1.1 传统基础理论
3.1.1.1 系统论
城市—区域系统本身就是系统理论的一种模式，空间结构是系统的外在表现形式。关于系统的定义如冯·贝塔朗菲L（Von Bertalanffy，1968）所述：“处在相互联系之中，与周围环境发生关系的各种要素组成的整体。”同时他还强调在研究系统时应当把系统看作是“整体”或者“统一体”。由此可知，系统的本质特征是整体性，系统论的核心是整体论，系统论的基本原理就是其整体性、有机性原理。另外我们经常用到的系统论原理就是开放性，这个原理其实是以系统的不完全性为支撑，以耗散结构理论为基础而演化出来的。耗散结构理论认为，系统在完全开放的条件下可以引入负熵流，使系统的结构向合理有序的状态转化，进而使系统整体的状态达到最优。也就是说，保持系统的开放性是系统运行和进行优化的必备条件。
借助于地域系统综合体理论，可将城市—区域系统进行一个全面的认识。城市—区域系统包括实体要素、地域组织要素、要素流三个组成部分，这三个部分相互联系，密不可分。第二，城市—区域系统具有一定的结构，一定的结构具有一定的功能。随着结构不断完善、优化，城市—区域系统的功能也将日趋稳定、合理。第三，城市—区域系统还是一个时空动态变化的综合体，可以通过时空体系来描述其要素的分布与结构。
3.1.1.2 中心地理论
1933年克里斯塔勒W（Christaller W）发表了论文《德国南部的中心地》，提出了中心地、中心货物与服务、中心度等基本概念（常正文、王兴中，1998）。他进一步根据中心地提供货物、商品以及服务能力的差异，提出了中心地的等级体系。克氏提出的中心地，其实指的是城镇，因为城镇具有中心地提供货物、商品、服务等方面的功能，并在空间上形成一种经济力，带动了区域的整体发展。他根据中心地职能的区别，提出了K=3，K=4，K=7的六边形法则，来解释市场、交通、行政影响下的中心地六边形等级体系。中心地理论后经廖什A（Losch A，1938；王守礼，1965）、加里逊W L（Garrison W L，1958）、贝里B J L（Berry B J L，1964）、戴西M F（Dacey M F，1965）、哈格特P（Haggett P，1977）等学者进行了验证，进一步推动了中心地理论的发展。
中心地理论揭示了城镇体系的空间结构特征，因为在城市地理学中，中心地存在形式就是城镇。但中心地理论侧重城市之间的等级体系，注重同等城市的六边形布局原理，没有城市体系空间结构更加注重城市在城市—区域系统内部的布局及相互作用关系。此外，中心地理论在城镇密集区、都市连绵区等区域内的实用性不强，因为若干个规模相当的城市由于分工不同改变了严格的中心地等级体系，会出现一种相互交错的六边形等级体系，两者互为腹地。
3.1.1.3 增长极理论
增长极概念最早提出的学者是法国的佩鲁F（Perroux F，1955）。他认为，某些主导性的部门、创新能力强的企业集中于特定的区位，形成一种吸引力与排斥力共存的增长点。也就是说，增长极是具备推动能力与创新优势的经济单元。这种单元是能推动周围其他单元的共同发展的单元，是创新能力强的企业、行业、部门，而不是地理单元。后来法国的经济学家布代维尔J B（Boudeville J B，1966）与拉塞J R（Lasuen J R，1969）将区位的观点引入增长极理论中来。他们指出一个增长极的形成离不开所在城市的聚集优势与多种功能。同时他们指出，为了实现推动性单元作为发动机的带动功能，城市必须处于地区的经济增长中心，进而在它的周围形成纵横交错、功能相依的居民地体系。
增长极理论从经济单元之间的相互关系入手，探讨了经济单元对地区行业、部门的推动作用，对城市—区域系统经济联系的理论分析极为重要。布氏的空间区位概念使得“增长极”有了重新的定位。他探讨了一定地理范围相联系的经济变量的关系，其中包括经济现象的地域空间关系。这种经济关系对经济活动的空间分布，尤其是增长极的地域空间结构至关重要，甚至在一定程度上决定了特定发展阶段的经济空间模式。
3.1.1.4 核心—边缘理论
核心—边缘理论是美国规划学家弗里德曼J（Friedmann J，1967）首先提出的，之后加以完善形成的。他将一定的地域空间分为两大部分：“核心区”与“边缘区”。他提出区域的发展是通过不连续的，但又逐步累积的创新过程实现的。区域中最先发展的地区源于具有较高发展潜力的“变革中心”，之后通过这些“变革中心”向周围地区不断扩张，周边地区依附于“变革中心”获得发展。弗氏把这些创新、变革的中心称为“核心区”，而一定地域“核心区”外的其他区域，被称为“边缘区”。弗氏的区域发展模型中，对区域的经济增长与经济发展的阶段联系起来，总结了“核心区”与“边缘区”的互动关系（如表3-1）。
表3-1 弗里德曼的核心—边缘理论
弗氏的核心—边缘理论是对中心城市与外围腹地之间关系、区域经济发展与城市发展之间互动机制进行了综合解释。他指出核心区与边缘区发展的最终形式是区域经济一体化。在这种背景条件下，边缘区不断地接受核心区的创新信息并参与创新活动，自身也将发展成新的核心区或者强化原有的小核心区，最终形成与原有高级核心区密切连接的“城市—区域系统”。
3.1.1.5 大都市带理论
大都市带理论又称大都市连绵区理论。1957年法国地理学家戈特曼J（Gottmann J）在论文《Megalopolis or the urbanization of the northeast seaboard》提出的。后来希腊学者道萨迪亚斯C A与帕佩约阿鲁J G（Doxiadis C A、Papaioannou J G，1972），加拿大学者纳什P H（Nash P H，1963）等支持、验证了这个理论。戈特曼J认为在大都市带区，支配空间形式不再是一个都市或者都市区，而是集聚了若干都市区，人口、经济、社会等方面密切联系的一个多核心、多层次的巨大整体。他指出大都市带一般具有如下特点：①具有多核心结构，人口高度集聚。②大都市带由许多都市区连绵组合而成，不仅整个大都市连绵带具有完整的整体功能，而且不同的都市连绵区也都承担不同的功能和作用。③在国家经济与世界经济发展中扮演重要角色，是新技术、新思想孕育的载体。④大都市带具有发达的区域性基础设施网络和带状分布的空间地域结构。
由上述理论可知，大都市区是具有多种类型的空间结构，并且是不同规模级别城市相互作用共同形成的复杂耦合结构。一般认为这种空间结构是超大城市、特大城市、大城市、中等城市、小城市、乡镇等各种要素在空间上组成的镶嵌式分布格局。各城市各司其职，相互补充，共同促进区域经济的整体发展。
3.1.2 城市与区域的相互作用理论
3.1.2.1 空间相互作用理论
任何一个城市都不可能孤立的存在与发展。为了保障生产、生活的正常运行，城市与城市、城市与区域之间总是不停地进行着各种物质、能量、信息等方面的交流与互换，我们把这些交流与互换称之为空间相互作用（Spatial interaction）。正是在这种相互作用的影响下，才把空间上彼此分离的城市结合成为具有一定结构、功能的有机整体。厄尔曼E L（Ullman E L）提出城市空间相互作用发生的互补性、中介机会、可运输性三个基本条件。城市之间的相互作用强度是通过引力与斥力这对矛盾的吸、斥情况决定的。只有两者平衡，区域的空间结构才处于静止状态。因此，城市—区域系统的空间结构是在两个作用力不断变化中得到调整与优化的。
1931年雷利W J（Reilly W J）根据牛顿力学中的万有引力理论，提出了“零售引力规律”，其公式为：
式中，Ta、Tb为一个中间那个城市被吸引到a城市与b城市的贸易额；da、db为a城、b城到中间那个城市的距离；Pa、Pb为a城、b城的人口。
1949年康维斯P D（Converse P D）发展了雷利的理论，提出了“断裂点”概念。他给出了计算两个城市之间断裂点的公式，如下：
式中，dA为从断裂点A城市的距离；dAB为A城市与B城市之间的直线距离；PB为较小城市B的人口；PA为较大城市A城的人口。
引力模式可以计算城市之间的相互作用力，其公式如下：
式中，Iij为i与j两个城市间的相互作用量；Wi，Wj为经验确定的权数；Pi与Pj为i与j两个城市的人口规模；Dij为i与j两城市之间的距离；b为测量距离摩擦作用的指数。
上述空间相互作用理论中，断裂点理论应用的例子较多，但该理论仍有不足，需要进一步进行改进和扩展。为此闫卫阳、郭庆胜等人对断裂点理论进行推导，得出来三个推论：
推论（1）：两个相邻城市之间的距离等于断裂点到两个城市的距离之和。公式表示为：
dA+dB=DAB
推论（2）：断裂点到相邻两个城市的距离与这两个城市中心性强度值的平方根成正比。公式表示为：
推论（3）：在匀质平面区域内，以各个城市为发生单元，城市影响力的扩张速度与相邻两个城市的中心性强度值的平方根成正比例。公式表示为：
由推论（3）可知，发生元的速度不是每个城市的中心性强度值，而是其中心性强度值的平方根。根据这一推论，闫卫阳、郭庆胜等人利用计算机以中心强度值的平方根为综合指标，借助于Arc GIS软件和Visual Basic程序生成加权的voronoi图。根据加权的voronoi图的性质和几何特征可知，相邻两个城市的吸引范围的界线是一条弧段，这条界线能反映城市相互作用影响的范围。
空间相互作用理论带来城市影响范围或者经济影响区的新的变革，出现各种定量方式的计算，为以后计算城市之间的相互作用强度打下了坚实的基础。之后场强模型、潜力模型、加权断裂点理论、扩展断裂点理论等都在此基础上得到了发展。
3.1.2.2 混沌及分形理论
混沌理论是当代系统科学中一门重要分支学科，也是非线性科学研究的重要领域。混沌理论的主要内容包括非线性动力学、耗散结构理论、分形几何学以及混沌的同步与控制。混沌理论的一个核心概念就是“序”，但对“序”的概念尚没有统一。一般认为“有序”为事物之间有规则的相互联系，“无序”理解为事物之间无规则的相互联系。没有相互联系的事物群体不是系统，不存在序的问题。混沌系统没有明显的周期与外在特征，看似无序，但是混沌并不是真正意义上的混乱，在看似混乱的外表下蕴藏着多样、复杂、微妙的规律与结构，是一种无序的有序。混沌理论中的分形理论是研究地理现象的重要手段，通过空间的无标度性与自相似性，可以刻画地理事物空间分布的结构特点。计算地理事物空间分形的理论主要有聚集维、网格维与空间关联维。
由于城市—区域系统中城镇的空间分布具有明显的无标度特征，也就是具有分形特征，因此可用分形理论中的关联维数模型解释城市之间的这种相互作用。基本算式为：
式中，C（r）为城镇体系的空间相关函数，r为给定的距离刻度。C（r）的计算公式为
在具体计算过程中，为了计算方便，通常将公式改为
在C（r）的计算公式中，H为Heaviside阶跃函数，即
式中r为距离标度，dij为第i个城镇到第j个城镇的欧氏距离。距离标度r→0只是代表变化方向，并不一定真要趋近于0，其变化范围限制在最小距离和最大距离之间。
上述基本算式中，D反映了城市—区域系统中城镇空间分布的均衡性，一般情况下其值在0—2之间变化。当D→0时，表明城镇分布高度集中于区域一个地区（如首位城市、核心城市）；当D→1时，城镇在空间上分布集中于一条地理线（如河流、铁路和海岸等）；当D→2时，表明城镇的空间分布很均衡，以至于以任何一个城镇为中心，每个城镇的分布密度都是均匀的。D值越小，表明区域内各城镇间联系和空间关联越紧密，分布越集中；D值越大，说明城镇之间的空间作用力越小，城镇空间布局越离散甚至到均匀的程度（刘继生、陈彦光，1998）。
混沌理论中对“序”的理解以及分形理论对地理事物空间分布特征、相互关系强度的计算都是对城市—区域系统中城市与区域互动关系的描述，这为人们理解城市—区域系统提供一种新途径。
3.1.2.3 城市的空间分布理论
根据归纳法原理，可将城市空间分布归纳为规则的、不规则的分布，聚集的、随机的或者均匀的分布，如图3-1所示。根据空间最邻近指数分析，当最邻近指数为0时，属于聚集分布；当最邻近指数为1时为随机分布；当最邻近指数大于1时为均匀分布（许学强、周一星、宁越敏，2009）。
图3-1 点空间分布类型
城市空间分布是动态变化的，其发展受经济、社会等方面的影响，具有与经济、社会发展密切相关的阶段性（图3-2）：①离散阶段：对应于自给自足式的农业生产发展阶段，以小城镇为主，缺少大中型城市，没有核心结构，构不成等级体系。②极化阶段：对应于工业化兴起、工业迅速增长并成为经济发展的主导产业阶段，中心城市得以强化。③扩散阶段：对应于工业结构高度化的阶段，中心城市沿轴带扩散并带动中小型城市的发展，点轴区域系统形成。④成熟阶段：对应于信息化、产业高度化发展阶段，逐步形成点—轴—网络的区域系统，整个区域成为一个高度发展的城市化联系区。
图3-2 城市在区域中的发展阶段
通常采用柯尔摩哥洛夫—史密尔诺夫公式与洛伦兹曲线结合来分析城镇的空间分布类型（许学强、周一星、宁越敏，2009）。首先，使用方格法构造城镇点状分布图，构造实际频数组，并用柯—史公式对城镇分布是否服从于泊松分布，即是否属于随机型进行检验。如果计算的D值小于查表的临界值，城镇的分布就服从泊松分布，也就是随机型。否则就是非随机型。其次，用洛伦兹曲线（即累积百分比曲线）对城镇的分布属于聚集型还是均匀型进行判断。若城镇分布是不均匀的，则累积百分比曲线就是对角直线，若累积百分比曲线在对角线下面，则表示城镇分布式趋向集中的。一般用集中程度指数I表示集中、均匀的程度，I的计算公式为：
城市空间分布理论是利用数学方法和地理相结合的一种检验城市空间分布的一种理论。其优点就是可通过城镇的分布形态来分析城市之间的相互作用程度和空间集聚、分散情况，更直观地表达城市在区域空间上的组织结构和分布状态。
3.1.2.4 城市间相互作用强度理论
根据物理学中的物体间相互作用的引力公式，将城市看作是能够相互作用的物体，以人口规模、国内生产总值指标为城市的质量表征，以城市间的欧式距离为半径，通过引力强度来解释城市间的相互作用强度（许学强、周一星、宁越敏，2009）。参考以往学者关于城市之间相互作用的有关计算方法，采用空间相互作用强度E来测度城市彼此之间的相互作用强度。其公式如下：
其中，P1、P2分别表示两个城市的人口数：V1、V2表示两城市的国内生产总值；r表示两个城市间的距离。
城市相互作用强度理论是利用物理学方法和地理学相结合的一种测度城市之间相互作用程度一种理论。其优点就是可以通过城镇的人口规模、GDP指标简单地分析城市间的相互影响程度，从城市的质量属性、距离因素来分析城市之间的关联程度。