2.2 一系列三角形

根据笛沙格定理可以画出一系列三角形。在图2-5中，我们从过点S的3条直线及另一条直线h开始。在点S和直线h之间的3条直线上画一个三角形，在该三角形的旁边再画一个三角形，且使得该三角形三边的延长线和第一个三角形三边的延长线的交点在直线h上。继续画更多像这样相邻的三角形。有些三角形向点S靠近，就好像要无限趋近于点S一样；另一些三角形向直线h靠近，就好像要融入直线h之中。图2-5中的三角形有两个相反的趋势，即分别往直线h之外（左侧）与点S之外（右侧）延伸。

图2-5 平移三角形族

通过这种作图方法，我们还可以做出一系列立体三角形或三棱柱（见图2-6）。

图2-6 “脊椎骨”画（马可，11岁学生）

必须指出的是，这些三棱柱长得都不一样——大小不一样、角不一样、方向不一样——但它们显然都是同一族的。我的一位同事看到这幅素描后说：“它看起来像是脊椎骨！”从那时候开始，我就这么称呼它了。

这样的说法或许点出了什么。图2-7中的每个柱体相较图2-6都有些许质的改变，根本原因就在于在描绘时我们侧重的是哪个定点或者哪条定线。

图2-7 “脊椎骨”画：三棱柱的变化

让我们挑选一种动物的骨骼，观察它各块脊椎骨的异同之处。

收藏在苏格兰贝尔佩蒂格鲁博物馆中的鼠海豚骨骼标本（见图2-8），每块脊椎骨的差异似乎不大。它们属于同一种变化形式吗？根据笛沙格的三角形系列，或许苏格兰知名生物学家达西-温特沃斯·汤普森（1860—1948）爵士的不变性观点需要被重新检视了。

图2-8 鼠海豚骨骼标本（苏格兰贝尔佩蒂格鲁博物馆）

脊椎骨显然不是几何学中的三角形，但它们都只是一种形式而已，任何形式都可以变换，即使像脊椎骨这样有点复杂的形式。这种变换中存在某种规则吗？有某种领域可以纳入不同的形式吗？是什么将全部这些形式整合成一体的？在三角形的变换中我们可以清楚地看到这样的整合，但是脊椎骨呢？我们要完全理解它还有很长的一段路要走，但是变化的三角形让我联想到脊椎骨中可能存在某种规则。