4 混沌振动
混沌的发现和理论研究冲破了牛顿力学确定论的约束。它对自然科学与社会科学乃至哲学都起了极大的影响与作用。例如对气象学、经济学、医学、心理学、密码学等的实践与理论都有所创新和改变。有些人认为混沌学相当于微积分学在18世纪对数理科学的影响。它在工程中有广阔的应用前景。混沌振动在机械振动理论中是一个崭新的分支，正成为一个很活跃的研究领域。
实际工程中的很多现象，许多非线性系统之振动，要用混沌振动才能得到恰当解释，例如：机器人手臂振动；多自由度摆的振动：振动造型机的碰撞振动；多级透平扭振；多索吊桥摆振；火车蛇行振动；齿轮的噪声；汽车导向轮摆振；打印机打字头的振动；管道振动：不对称的卫星沿非圆轨道远行时，会有混沌自振等。
混沌振动是指发生在确定性系统中的貌似随机振动的无规则运动。但其性态极为复杂。即在非线性系统中，有一种非周期的运动，其轨线看似杂乱无序的，但又限于一定的范围内运动。即在有规律的振动系统中，在有限区域内存在有轨道永不重复的无序的振动。混沌振动之所以产生是由于非线性振动系统对初始条件的敏感性。初始条件的微小差别会产生捉摸不定的混沌。即对于初始条件的极小变化就会得到不同的运动状态。这种复杂的现象称为混沌。
许多科学家给过混沌的定义，但到目前为止，对于混沌，还没有一个公认的普遍适用的定义，但基本上都认为混沌系统是指敏感地依赖于初始条件的偏差而导致的系统。
在非线性动力学中普遍存在混沌现象。
研究混沌的方法很多，最常用的是直接观测法、庞加莱映射法、李普雅诺夫指数法、梅尔尼可夫法等。
在普通的相平面上每隔一个外激励周期（T＝2π/ω）取一个点，绘制出相点，即庞加莱映射。若为周期激励，可在激励的某个任定相角（ωt）处，陆续测响应以获响应的庞加莱映射。周期性响应的庞加莱映射为一个点或有限点；若干相点排列成在一条封闭曲线流型上，是拟周期振动；有无数个点而杂乱无序分布于某区域内，则是非周期性混沌响应的庞加莱映射。
李亚普诺夫指数用来反映初始误差在迭代过程中被放大或缩小的长期效应，是初值敏感性的数量度量。以李普雅诺夫指数大于零来确认有混沌振动。对n维一阶自治微分方程组的n个李普雅诺夫指数，只要有一个指数大于零，则就可能出现混沌。
例如，一个离散的一维动力学系统的固有特性：
xn+1＝axn（1－xn） n＝0，1，2，…
函数f（x）＝ax（1－x）称为迭代函数，或映射函数。算出其李普雅诺夫指数λ与α的关系，见图19-4-3。发现在α≥3.57时，有正λ，出现混沌。
图19-4-3
当参数α＝4时：
xn+1＝4xn（1－xn） n＝0，1，2，…
迭代多次的结果显示于图19-4-4。图a的初始条件是x0＝0.202，而图b的初始条件是x0＝0.202001，两者相差仅为10－6。开始，两条轨线的差别也很小，可是，愈到后来，差别愈大，以至面目全非。图c给出了两轨线之间的偏差。这就是混沌状态。可见，在混沌状态下，即使是非常微小的初始偏差，其后续效应是不可忽视的。这个例子只是说明一个混沌现象。
图19-4-4
一般，在各种工程振动系统中，若含有下列条件之一者，就有可能存在混沌振动。
1）几何非线性或运动关系非线性；
2）力非线性；
3）约束条件的非线性：
4）本沟关系（由归纳实验数据所得反映宏观物质性质的数学关系。最简单的是应力和应变率之间的函数关系）的非线性；
5）有多个平衡位置。
近几年来国内外学者还重视研究分岔现象和混沌先兆，就是因为分岔有可能引起复杂的混沌运动。其他如吸引子理论也是研究混沌的。也已经陆续把混沌振动应用于各种工程研究、测试或发明创造中。本课题太专门且广泛，不在本篇范围之内。一两个应用实例见本篇第6章。