3.4 颗粒在流体中的运动行为
3.4.1 力的分析
颗粒在气流中运动受到不同力的作用，包括外力、流体阻力和相互作用力。颗粒间的相互作用力，在颗粒浓度不高时可忽略。下面对流体阻力、重力、离心力、静电力、热力和惯性力等一一作介绍。
3.4.1.1 流体阻力
在不可压缩的连续流体介质中，做稳定运动的颗粒必然受到流体阻力的作用。这种阻力是由两种现象引起的：一是由于颗粒具有一定的形状，运动时必须排开周围的流体，导致其前面的流体压力比其后面大，产生了所谓的形状阻力；二是由于流体具有一定的黏性，与运动颗粒之间存在着摩擦力，导致了所谓摩擦阻力。阻力的大小决定于颗粒的形状、粒径、表面特性、运动速度以及流体的种类和性质，阻力的方向总是与速度向量的方向相反。流体阻力按如下方程计算：
（3.27）
式中，Fd为流体阻力，N；Ap为颗粒垂直于气流的最大断面积，m2；ρfluid为流体密度，kg/m3；vr为颗粒与流体之间的相对运动速度，m/s；Cd为阻力系数。
阻力系数Cd是颗粒雷诺数Re的函数，关系式为：
（3.28）
式中，a、m为流体状态参数；雷诺数Re计算式为：
（3.29）
式中，dp为颗粒粒径，m；μ为流体的动力黏度，Pa·s。
球形、圆柱、圆盘三种类型颗粒物的阻力系数与雷诺数的综合关系曲线如图3-13所示。
图3-13 阻力系数Cd与粒子雷诺数Re的关系
对于球形颗粒物，当雷诺数Re≤1.0时，此时颗粒运动处于层流状态，即Stokes区域。阻力系数计算式为：
（3.30）
将式（3.30）和式（3.29）代入式（3.27），得到球形颗粒的流体阻力计算公式：
（3.31）
当雷诺数1.0<Re≤1000时，颗粒运动处于湍流过渡区，阻力系数计算式为：
（3.32）
当雷诺数1000<Re≤100000时，颗粒运动处于湍流状态，阻力系数几乎不随雷诺数Re变化，近似取值Cd≈0.44，即通常说的牛顿流体区域。
当颗粒大小与气体分子平均自由程λ差不多时，颗粒开始脱离与气体分子的接触，流体阻力减少，颗粒运动发生所谓的“滑动”。针对这种现象，坎宁汉（Cuningham）提出了滑动修正系数（又称坎宁汉修正系数），以Cu表示。
（3.33）
式中，Kn为努森数（量纲为1）。
（3.34）
式中，dp为颗粒粒径，m；λ为气体分子的平均自由程，m。
（3.35）
式中，μ为气体的动力黏度，Pa·s；ρ为气体的密度，kg/m3；
为气体分子的平均运动速度，m/s。
（3.36）
式中，T为气体的热力学温度，K；M为气体分子的摩尔质量，kg/kmol；R为摩尔气体常数，R=8314J/（kmol·K）。
在常压空气中，Cu也可用下式估算：
（3.37）
式（3.37）中，粒径dp的单位为μm。
一个大气压、室温（25℃）气流中的颗粒粒径对应的坎宁汉修正系数见表3-12。
表3-12 不同颗粒粒径的坎宁汉修正系数
颗粒在重力场、电场、离心场中的运动，只要满足Re≤1.0，都可以用式（3.31）计算所受的流体阻力。当dp≤1.0μm，或Kn>0.016（相当于Cu>1.02），所受阻力要按照式（3.38）进行修正：
（3.38）
例3.3 两种粒子在空气沉降室中自由沉降。求下述条件下，匀速沉降粒子所受到的阻力。已知条件为：①粒径dp=120μm，沉降室空气温度T=293K，压力p=1.013×105Pa，沉降速度υ=0.9m/s；②粒径dp=1μm，沉降室空气温度T=400K，压力p=1.013×105Pa，沉降速度υ=50μm/s。
解：①查附录2得：T=293K，压力p=1.013×105Pa条件下，空气的动力黏度μ=1.81×10-5 kg/（m·s），密度ρ=1.205kg/m3。则粒子雷诺数：
由于1.0<Re<1000，粒子的沉降运动处于过渡区，得阻力系数为：
②dp=1μm，需要对斯托克斯阻力公式进行坎宁汉修正。由附录查得T=400K，压力p=1.013×105Pa条件下，空气的动力黏度μ=2.29×10-5 kg/（m·s），密度ρ=0.8826kg/m3，空气的摩尔质量M=28.97kg/kmol，代入式（3.36）得空气分子的平均运动速度为：
计算空气分子的平均自由程λ：
努森数Kn=2λ/dp=2×0.096/1×10-6=0.192
由式（3.33）计算坎宁汉修正系数Cu：
粒子所受阻力Fd为：
3.4.1.2 外力
颗粒在流体中运动时，除受到阻力外，可能受到的外力还有重力、浮力、惯性力、离心力、电场力和热力等。这些力与阻力一起共同作用于运动中的颗粒，形成综合效应。这些力的计算公式如下：
（3.39）
（3.40）
（3.41）
（3.42）
（3.43）
（3.44）
式中，m为颗粒的质量；dp为颗粒粒径；ɑ为颗粒运动加速度；vc为颗粒离心运动的线速度；r为离心运动的圆弧半径；q为颗粒带的电荷量；Ep为颗粒所在位置的电场强度；W为热能做的功；L为在力的方向上移动的距离。
3.4.2 斯托克斯定律
3.4.2.1 Stokes沉降速度
一个球形颗粒在空气流中做自由沉降运动时所受到的作用力如图3-14所示。根据牛顿第二定律，可知：
（3.45）
图3-14 颗粒上作用力的分析
式（3.45）右边三项分别是重力、浮力和流体阻力，公式左边“ma”项表示的是作用在球形颗粒上力的综合效应，实现颗粒向下加速运动。由前节可知，流体阻力随相对运动速度增加而增大，当相对运动速度为0时，流体阻力等于0；当流体阻力等于重力与浮力的差值时，颗粒物开始做匀速沉降运动，此时，公式左边等于0。代入重力Fg、浮力Fb、流体阻力Fd的计算公式，式（3.45）转化为：
（3.46）
对于球形颗粒，当雷诺数Re小于1.0时，式（3.46）左边的流体阻力计算简化为：
（3.47）
将简化的流体阻力计算式代入式（3.46），则上式简化为：
（3.48）
式（3.48）整理后，得到颗粒物匀速沉降相对运动速度：
（3.49）
当颗粒物在静止的空气流中做自由沉降运动时，vair=0，则颗粒物在重力作用下的沉降速度为：
（3.50）
这就是著名的斯托克斯定律，式（3.50）又称为Stokes公式。它很好地描述了球形颗粒在静止空气流中做自由沉降运动时的最终沉降速度，通过测定沉降速度，可以计算得到颗粒粒径。
与颗粒相比，空气密度ρair远远小于颗粒ρp，因此可忽略浮力的影响。式（3.50）进一步简化为：
（3.51）
例子3.4 计算粒径为1μm的球形颗粒在静止空气中的最终沉降速度。空气黏度为1.8×10-5kg/（m·s），颗粒密度为2000kg/m3。
解：分别采用式（3.50）和式（3.51）进行计算。
两者结果是一样的，这说明采用式（3.51）计算最终沉降速度精度完全满足要求。
当1.0<Re<1000时，整理式（3.46）后，得到静止空气流中颗粒最终重力沉降速度计算式为：
（3.52）
由前节知，阻力系数的计算公式为：
（3.53）
对于牛顿流体区域，Cd≈0.44，直接代入式（3.52），即可得到最终沉降速度vst。
（3.54）
那么如何判断使用哪个公式计算沉降速度呢？这里介绍一种“试错法”（trial-and-error method）。“试错法”的计算流程如下。
首先，通过用Stokes公式试算沉降速度vst：
（3.55）
然后，计算雷诺数Re，比较判断Re是否小于1.0或在1.0～1000之间。
（3.56）
如果Re<1.0，则表明前面的试算正确。否则，按下式计算阻力系数Cd：
（3.57）
接着，再按下式计算新的沉降速度vst和新的雷诺数Re：
（3.58）
开始新一轮的比较、判断，并接着计算新的阻力系数、新的沉降速度和新的雷诺数，如此循环，直至前后轮计算的沉降速度值误差满足设定的要求，计算结束。
迄今为止，斯托克斯定律被证明能很好地描述颗粒重力沉降过程。如图3-15所示，Stokes公式计算得到的颗粒终端沉降速度与实测值吻合良好。当颗粒粒径小于1.0μm或大于30μm时，需要通过上述修正。
图3-15 颗粒终端沉降速度理论值与实际值的差别
例3.5 已知石灰石颗粒的真密度为2.67g/cm3，试计算粒径为1μm和400μm的球形颗粒在293K空气中的重力沉降速度。
解：①对于粒径1μm，按式（3.51）计算重力沉降速度，并用坎宁汉修正系数修正。
在293K空气中，坎宁汉修正系数近似按式（3.37）计算：
则，颗粒重力沉降速度：
②对于dp=400μm的颗粒，采用“试错法”进行计算：
不符合Stokes公式应用的条件。采用过渡区公式计算：
按式（3.53）、式（3.29）循环计算新的重力沉降速度、雷诺数和阻力系数。“试错法”计算结果如表3-13所示。经过5轮迭代计算，计算结果满足设定的误差要求，计算结束。
表3-13 例3.5表
3.4.2.2 Stokes停止距离
例3.6 一直径1μm的球形颗粒，其密度为2.0g/cm3，以10 m/s的速度从枪口射出进入静止的空气流中。请问，颗粒受阻力的作用，飞行多远停止下来？忽略重力和浮力作用。
解：颗粒在静止的空气中运动受到阻力、惯性力的作用，这两个力方向相反、大小相等（图3-16）：
（3.59）
图3-16 例3.6图
空气流中，颗粒受到阻力为：
（3.60）
颗粒运动惯性力计算式为：
（3.61）
将阻力和惯性力计算式代入，得到：
（3.62）
对上式整理可得：
（3.63）
上式，
。将此式代入上述计算式，得：
（3.64）
两边积分并代入边界条件，得：
（3.65）
计算得：
（3.66）
空气动力黏度为1.8×10-5kg/（m·s），Cu=1.166。代入计算得到：
