2.2　液体静力学

静力学的任务就是研究平衡液体内部的压力分布规律，确定静压力对固体表面的作用力以及上述规律在工程上的应用。

所谓平衡是指液体质点之间的相对位置不变，而整个液体可以是相对静止的，如做等速直线运动、等加速直线运动或者等角速转动等。由于液体质点间无相对运动，因此没有内摩擦力，即液体的黏性不被表现。所以静力学的一切结论对于理想流体和实际流体都是适用的^[3]。

2.2.1　静压力及其特性

（1）静压力的定义

为了使液体平衡，必须作用以平衡的外力系。这时外力的作用并不改变液体质点的空间位置，而只改变液体内部的压力分布。由于外力的作用而在平衡液体内部产生的压力，称为流体的静压力。静压力是一种表面力，用单位面积上的力来度量，亦称为静压强，通常用p来表示。

当液体面积ΔA上作用有法向力ΔF时，液体某点处的压力即为：

　　 （2.13）

静压力是作用点的空间位置的连续函数，即p=p（x，y，z）。

（2）静压力特性

① 静压力的方向永远是指向作用面的内法线方向，即只能是压力。

② 作用在任一点上静压力的大小只决定于作用点在空间的位置和液体的种类，而与作用面的方向无关。

由上述性质可知，静止液体总是处于受压状态，并且其内部的任何质点都是受平衡压力作用的。

2.2.2　重力作用下静止液体中的压力分布（静力学基本方程）

如图2.3（a）所示，密度为ρ的液体，外加压力为p₀，在容器内处于静止状态。为求任意深度h处的压力p，可以假想从液面往下选取一个垂直液柱作为研究对象。设液柱的底面积为ΔA，高为h，如图2.3（b）所示。由于液柱处于平衡状态，于是有：

pΔA=p₀ΔA+ρghΔA

由此得：

　　 （2.14）

式（2.14）称为液体静力学基本方程式。由式（2.14）可知，重力作用下的静止液体，其压力分布有如下特点：

① 静止液体内任一点处的压力由两部分组成：一部分是液面上的压力p₀，另一部分是液柱自重产生的压力ρgh。当液面上只受大气压力p_a作用时，液体内任一点处的压力为p=p_a+ρgh。

② 静止液体内的压力随液体深度按线性规律分布。

③ 离液面深度相同处各点的压力都相等（压力相等各点组成的面称为等压面。在重力作用下静止液体中的等压面是一个水平面）。

例2.1　如图2.4所示，一种海水液压系统的容器内盛有海水。已知海水的密度ρ=1025kg/m³，活塞上的作用力F=1000N，活塞的面积A=1×10^-3m²，假设活塞的重量忽略不计。问活塞下方深度为h=0.5m处的压力等于多少？

解　活塞与液体接触面上的压力为：

根据式（2.14），深度为h处的海水压力为：

p=p₀+ρgh=（10⁶+1025×9.8×0.5）N/m²=1.0050225×10⁶N/m²≈10⁶Pa

从本例可以看出，海水在受外界压力作用的情况下，由海水自重所形成的那部分压力ρgh相对很小，在液压传动系统中可以忽略不计，因而可以近似地认为液体内部各处的压力是相等的。以后我们在分析海洋装备液压传动系统的压力时，一般都采用此结论。

2.2.3　压力的表示方法和单位

1）压力的表示方法

压力有两种表示方法，即绝对压力和相对压力。以绝对真空为基准来进行度量的压力叫作绝对压力；以大气压为基准来进行度量的压力叫作相对压力。大多数测压仪表都受大气压的作用，所以，仪表指示的压力都是相对压力，故相对压力又称为表压。在液压与气压传动中，如不特别说明，所提到的压力均指相对压力。如果液体中某点处的绝对压力小于大气压力，则比大气压小的那部分数值称为这点的真空度。

由图2.5可知，以大气压为基准计算压力时，基准以上的正值是表压力；基准以下的负值就是真空度。

2）压力的单位

在工程实践中用来衡量压力的单位很多，最常用的有三种：

（1）用单位面积上的力来表示

国际单位制中的单位为：Pa（N/m²）、MPa。

1MPa=10⁶Pa

（2）用（实际压力相当于）大气压的倍数来表示

在液压传动中使用的是工程大气压，记做at。

1at=1kgf/cm²=1bar（巴）

（3）用液柱高度来表示

由于液体内某一点处的压力与它所在位置的深度成正比，因此亦可用液柱高度来表示其压力大小，单位为m或cm。

这三种单位之间的关系是：

1at=9.8×10⁴Pa=10mH₂O=760mmHg

例2.2　图2.6所示的容器内充入10m高的海水。试求容器底部的相对压力（海水的密度ρ=1025kg/m³）。

解　容器底部的压力为p=p₀+ρgh，其相对压力为p_r=p-p_a，而这里p₀=p_a，故有：

p_r=ρgh=（1025×9.81×10）Pa=100552.5Pa

例2.3　海水中某点的绝对压力为0.7×10⁵Pa，试求该点的真空度（大气压取为1×10⁵Pa）。

解　该点的真空度为：

p_v=p_a-p=（1×10⁵-0.7×10⁵）Pa=0.3×10⁵Pa

该点的相对压力为：

p_r=p-p_a=（0.7×10⁵-1×10⁵）Pa=-0.3×10⁵Pa

即真空度就是负的相对压力。

2.2.4　静止液体中压力的传递（帕斯卡原理）

设静止液体的部分边界面上的压力发生变化，而液体仍保持其原来的静止状态不变，则由p=p₀+ρgh可知，如果p₀增加Δp值，则液体中任一点的压力均将增加同一数值Δp。这就是静止液体中压力传递原理（著名的帕斯卡原理），亦即：施加于静止液体部分边界上的压力将等值传递到整个液体内。

如图2.4所示，活塞上的作用力F是外加负载，A为活塞横截面面积，根据帕斯卡原理，容器内液体的压力p与负载F之间总是保持着正比关系：

p=

可见，液体内的压力是由外界负载作用所形成的，即系统的压力大小取决于负载，这是液压传动中的一个非常重要的基本概念。

例2.4　图2.7所示为相互连通的两个液压缸，已知大缸内径D=0.1m，小缸内径d=0.02m，大活塞上放置物体的质量为5000kg，问在小活塞上所加的力F为多大时，才能将重物顶起？

解　根据帕斯卡原理，由外力产生的压力在两缸中相等，即

G为物体的重力：G=mg

故为了顶起重物，应在小活塞上加的力为：

本例说明了液压千斤顶等液压起重机械的工作原理，体现了液压装置对力的放大作用。

2.2.5　液体静压力作用在固体壁面上的力

在液压传动中，由于不考虑由液体自重产生的那部分压力，液体中各点的静压力可看作是均匀分布的。液体和固体壁面相接触时，固体壁面将受到总液压力的作用。当固体壁面为一平面时，静止液体对该平面的总作用力F等于液体压力p与该平面面积A的乘积，其方向与该平面垂直，即

　　 （2.15）

当固体壁面为曲面时，曲面上各点所受的静压力的方向是变化的，但大小相等。如图2.8所示液压缸缸筒，为求压力油对右半部缸筒内壁在X方向上的作用力，可在内壁面上取一微小面积dA=lds=lrdθ（这里l和r分别为缸筒的长度和半径），则压力油作用在这块面积上的力dF的水平分量dF_x为：

dF_x=dFcosθ=plrcosθdθ

由此得压力油对缸筒内壁在X方向上的作用力为：

式中，A_x为缸筒右半部内壁在X方向的投影面积，A_x=2rl。

由此可知，曲面在某一方向上所受的液压力，等于曲面在该方向的投影面积和液体压力的乘积，即

　　 （2.16）