1.3　流体流动中的守恒原理

弄清流速、压强等运动参数在流体流动过程中的相互关系是研究其规律的基础。流体流动应当服从一般的守恒原理：质量守恒、机械能守恒。本节将导出这些守恒原理在流体流动中的具体表达形式。

1.3.1　质量守恒

流量　单位时间内流过管道某一截面的物质量称为流量。流过的量若以体积表示，称为体积流量，以符号q_V表示，常用的单位有m³/s或m³/h。若以质量表示，则称为质量流量，以符号q_m表示，常用的单位有kg/s或kg/h。

体积流量q_V与质量流量q_m之间存在下列关系

q_m=q_Vρ　　（1-15）

流量是一种瞬时的特性，不是某段时间内累计流过的量。它可因时而异。当流体作定态流动时，流量不随时间而变。

平均流速　流体质点在单位时间内流动方向上流经的距离称为流速，用符号u表示，单位为m/s。管内流体流动时，因黏性的存在，流速沿管截面形成某种分布。在工程计算中，常用一个平均速度来代替这一速度分布。定义物理量的平均值时应按其目的采用相应的平均方法。在流体流动中按体积流量相等的原则来定义平均流速。平均速度以符号表示，即

　　（1-16）

式中，u为某点的流速，m/s；A为垂直于流动方向的管截面积，m²。

从而

　　（1-17）

有时，采用质量流速G的概念，亦称为质量通量，其单位为kg/（m²·s）。

　　（1-18）

对于气体在直管中的流动，沿程的平均速度和密度都会发生变化，而质量流速G是沿程不变的。

质量守恒方程　考察图1-9中截面1-1至2-2之间的管段控制体，定态流动时，控制体内没有积累量，单位时间内流进和流出控制体的质量应相等，即

　　（1-19）

这就是流体在管道中作定态流动时的质量守恒方程，也称为连续性方程。式中，A₁、A₂为管段两端的横截面积，m²；、为管段两端面的平均流速，m/s；ρ₁、ρ₂为管段两端面处的流体密度，kg/m³。对不可压缩流体，ρ为常数，则有

　　（1-20）

由式（1-20）可见，不可压缩流体的平均流速与管截面面积成反比，截面面积增加，流速减小；截面面积减小，流速增加。流体在均匀直管内作定态流动时，平均流速沿程保持定值，不因内摩擦而减速。

1.3.2　机械能守恒

在流体黏性作用下，流动流体会有机械能损失。本节先讨论理想流体的机械能守恒。随后再考虑机械能损失，使之能应用于实际流体。

动能　在1.2.2节中已经叙述了流体的位能和压强能，在流动流体中还有一项机械能，即动能，由物理学知识可知，单位质量流体的动能为u²/2。

伯努利方程　对于不可压缩流体，根据能量守恒原理，理想流体在流动过程中既没有机械能损失，也没有机械能增加，总机械能保持恒定，即位能、压强能、动能之和为常数

　　（1-21）

这就是伯努利方程（Bernoulli）方程。伯努利方程适用于重力场不可压缩的理想流体作定态流动的情况。伯努利方程表明在流体流动中这三种机械能可相互转换，但总和保持不变。伯努利方程又可写成

　　（1-22）

如图1-10所示，伯努利方程用于管流时，从1-1截面至2-2截面可得到如下关系式

　　（1-23）

下标1、2分别代表管流中位于截面1-1和截面2-2。

机械能衡算式　实际流体具有黏性，但图1-10中截面上各点的总势能仍然相等。此外，黏性流体流动时因内摩擦而导致机械能损失，称为阻力损失h_f。流体输送机械也可对流体加入机械能h_e。在对截面1-1与2-2间作机械能衡算时计入这两项，可得机械能衡算式

　　（1-24）

式中，h_e为截面1-1至截面2-2间外界对单位质量流体加入的机械能，J/kg；h_f为单位质量流体由截面1-1流至截面2-2的机械能损失（即阻力损失），J/kg。

伯努利方程的应用举例

（1）重力射流　如图1-11所示，某容器中盛有液体，液面A维持不变。距液面h处开有一小孔，液体在重力作用下从小孔流出，液面A处及小孔出口处的压强均为大气压p_a。液体自小孔流出时由于流体的惯性造成液流的收缩现象，液流的最小截面位于C处。以图中水平面0-0作为位能基准面，取A与C作为考察截面，列伯努利方程可得

❶

因u_A≪u_C，远小于而可略去，于是

　　（1-25）

为计算流量，须确定流动截面积。C处截面积无法确定，小孔面积却是已知的。因此，工程计算时希望以小孔平均流速u代替u_C，同时考虑流体流动时的能量损失，而引入一校正系数C₀，将式（1-25）写成

　　（1-26）

式中，C₀称为孔流系数，它与开孔的形状有关，锐孔的C₀一般在0.61～0.62之间。

此例说明位能与动能的相互转换，A处的位能在C处转化为动能。

（2）压力射流　容器中流体的压强为p，其值大于外界大气压p_a，流体从壁面小孔流出，如图1-12所示。设容器内的流体不断得到补充，p保持不变。取1-1和2-2截面，列伯努利方程可得

由于， 略去后可得

　　（1-27）

用小孔平均流速u代替u₂，并引入孔流系数C₀，得

　　（1-28）

当容器内外压强差Δp较小时，气体密度也可视为常数，式（1-28）也可用于气体。此例说明压强能与动能的相互转换。

压头　式（1-23）两边除以g可获得伯努利方程的另一种——以单位重量流体为基准的表达形式

　　（1-29）

式中各项为每牛顿流体具有的能量（焦耳），即J/N=m，与高度单位一致，其中，z称为位头；称为压头；称为速度头。由式（1-24）可导出

　　（1-30）

式中，H_e为截面1-1至截面2-2间外界对单位重量流体加入的机械能，J/N（或m）；H_f为单位重量流体由截面1-1流至截面2-2的机械能损失（阻力损失），J/N（或m）。

式（1-24）、式（1-30）都称为流体流动的机械能衡算式。在计算时，因等式两边都有压强项，两边可同时取绝对压强作为计算基准，或都用表压作为计算基准。